Exégesis II

[Update 22 enero 2017]

Buenas noches a todos y todas. En el post anterior a este, “Exégesis”, definía el término y apuntaba unas cuantas cosas más. Dentro de aquel post incluía una conversación de la que extraigo este fragmento:

  • No, no me lo parece porque sé lo que estoy diciendo, aunque también sé, que puede parecer cualquiera de las dos, o las dos cosas.
  • ¿Por ejemplo?
  • ¿Sabe usted lo que es una integral triple?
  • ¿Eh?
  • Una integral triple, es un método de cálculo físico-matemático, en el que desde el origen de un sistema de referencia (intrínseco o extrínseco) se van calculando diferencias de acuerdo con tres ejes definidos por sus vectores directores unitarios.
  • ¿Cómo dice?
  • … No necesariamente ortonormales, no necesariamente cartesianos, no necesariamente euclidianos, y linealmente independientes entre sí.
  • ?
  • Déjelo, por eso sé que soy un genio. Porque aunque usted no lo crea, ese es sólo uno de los muchos ejemplos fáciles de abstracción (en este caso matemática, con sus aplicaciones físicas), que con los años, me he dado cuenta que la inmensa mayoría de la gente no entiende (y esto es por no ponerme a disertar en este post al respecto de las distintas variedades de ordenación espacial de los átomos de hierro-56, que es más complicado y largo de explicar, y entender).

En realidad una integral, es una operación matemática que sirve como instrumento de cálculo. En una primera aproximación se suele definir como el valor del área delimitada por el eje de las equis y la línea que une las imágenes de cada equis entre sí al ir dándoles valores.

Si la línea que une las f(x) para cada valor que va tomando equis, fuese una línea recta que partiese del origen de coordenadas cartesianas en el plano π que contiene los ejes ordenados, x e y, a un ángulo de 60 grados sexagesimales respecto al eje x de las abscisas…

  • ¡Oiga señora, se entiende mejor con pizzas aceituneras!
  • Ya, ya lo sé, qué me va a contar buen hombre…

… trazando una línea auxiliar y paralela al eje, y, de las ordenadas, a la altura, mejor dicho anchura de x=4, y desde ahí buscamos el punto de cruce entre la línea que partía del origen a sesenta grados, y de x=4 en adelante (valores >4), las imágenes de equis van tomando valores de tal modo que la gráfica de la función se refleja horizontalmente hasta llegar al valor f(x)=0, tenemos un hermoso triángulo equilátero, de tres lados y tres ángulos iguales.

Obviamente esto ocurre en x=8, ya que es en x=4 donde la línea cambia de dirección y se empieza a producir reflejada horizontalmente.

El área de un triángulo cualquiera es longitud de la base del triángulo multiplicada por la longitud de la altura del triángulo, todo ello dividido por dos.

En el caso del triángulo delimitado por la base, contenida en el eje equis e igual a 8, y la gráfica de la función, que dibuja sus otros dos lados, la altura de ese triángulo está en el valor f(x) cuando x=4, es decir, en f(4).

Como el producto hay que dividirlo por dos, vale decir que el área del triángulo es 4*f(4), y el valor de la integral entre 4 y 0 para la función que “dibuja” las imágenes de ese modo, sería la del triángulo rectángulo de altura f(4) y base 4, es decir, (4*f(4))/2

Que es medio triángulo del equilátero de base 8 del ejemplo.

(La integral de la función entre 0 y 8, en este caso, sería 4*f(4)).

La integral de la aceleración en un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado es la velocidad, y la de la velocidad es la distancia recorrida.

∫a = v

∫∫a = d = ∫v

Esto es así porque la aceleración es en m/s², y la velocidad es en m/s, y la distancia es en metros.

En realidad los extremos de la integral se indican con las imágenes o llegadas de la función, así que lo he expresado mal arriba, pero se entiende mejor que decir la integral entre f(0) y f(8), y se indican con las imágenes porque dan valores de salida partiendo de los valores de llegada.

En ese caso, es fácil, es una línea recta, y definiendo horizontal y vertical el área sale inmediatamente.

Pero ¿y cuando la línea no es recta (que por otra parte, suele ser lo más habitual)?

En ese caso, se acortan las dimensiones tanto como sea necesario para ir llegando al mismo razonamiento.

Hay muchas más cosas que decir y entender respecto a números, dominios, recorridos, grafos, conjuntos, operaciones, correspondencias, aplicaciones, funciones…

Pero finalmente se llega a un instrumento de cálculo en unas CONDICIONES NECESARIAS, y así se tienen integrales de línea, que son formas de pasar de unos valores de salida a los valores de entrada en una sola dimensión, integrales dobles o de superficie, que es el cálculo de áreas mediante dos integrales de línea, e integrales triples o de volumen, que es el cálculo de volúmenes, o de procesos de dimensión n=3, a base de combinar cada una de las tres integrales de línea que intervienen en el proceso.

  • ¿Sabe que le digo?
  • Qué.
  • No he entendido nada.
  • Ya…
  • ¿Puede explicarlo con pizzas aceituneras?
  • Pues… como poder puedo, pero creo que ya lo he hecho anteriormente aunque puede que no en español, y en este momento, prefiero seguir comentando el fragmento con que empecé este post.

Un sistema de referencia es un espacio vectorial, es decir, tiene un origen y unos ejes, y esos ejes se definen por unos trocitos de eje contenidos en cada uno y que además apuntan en uno u otro sentido, de forma que generalmente se entienden del modo cartesiano, es decir, todos de módulo igual (de igual longitud), y todos a noventa grados entre sí, y además apuntando hacia la parte positiva de cada eje, partiendo desde el origen del sistema de referencia, hacia afuera.

Y digo generalmente, porque en realidad no suele ser así en la práctica, de la misma forma que en la práctica las gráficas de las funciones no suelen ser líneas rectas.

Cogiendo por ejemplo los sistemas cristalográficos, en la práctica, la materia no se ordena siempre en el espacio en estructura cúbica centrada en el cuerpo, como en el caso del cloruro sódico (sal común), hay unos cuantos sistemas cristalográficos (las formas en que la materia ordena sus átomos y moléculas se llama así) más.

De entre ellos los más caóticos son el monoclínico y el triclínico, en que tanto ángulos como vectores son diferentes entre sí y dan formas caprichosas que nada tienen que ver con los ejes cartesianos (aunque se puedan normalizar y “traducir” a ellos).

Además, al menos para mí, resulta obvio que cuando las moléculas y átomos se ordenan en el espacio con un patrón que se repite en forma de torsión, hay al menos otros dos vectores directores del sistema que son los que describen el movimiento y velocidad de ese par de fuerzas que gira, y empujón que desplaza hacia adelante las hélices del ADN (DNA), doble, y del ARN (RNA) simple.

Y eso sin entrar en definiciones mucho más complicadas (y nada aceituneras) de modelos de cuerdas, relatividad general, relatividad especial, y otros conceptos mucho más avanzados que las fórmulas de integración o derivación.

Un sistema de referencia puede ser intrínseco o extrínseco, si es intrínseco está contenido en el volumen objeto de estudio, si es extrínseco está contenido fuera de ese volumen.

Una persona que viaja en un tren no se mueve respecto al sistema de referencia situado en la puerta del vagón en que esa persona está sentada. En cambio, esa misma persona si se mueve respecto al sistema de referencia que está en un puente por el que va pasando el tren.

Y para terminar este post, os diré que antes de haber leído sobre el Tokamak/Stellarator estaba escribiendo unas cuantas consideraciones que muchos técnicos en temas relacionados ni siquiera conocen, porque a día de hoy ni siquiera entran en los planes de estudio.

Lo cual por cierto, me recuerda otro chiste matemático.

  • A ver Jaimito, dígame la tabla del uno.
  • Uno por uno es uno y así sucesivamente.

Update 22 enero 2017

El link que he incluído arriba es este:

MRUA

Explica en español y en jerga hullabaloosera no-aceitunera, conceptos avanzados.

Si alguien quiere comentar algún aspecto, iré incluyendo los comentarios relacionados a continuación.

Acerca de María Cristina Alonso Cuervo

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