Pulsos de sincronización (V)

Pulsos de sincronización (V)

13 May de 2016 @ 05:52

[Update 17 mayo 2016]

[Update 21 mayo 2016]

https://learnwareenglish.com/2016/05/11/pulsos-de-sincronizacion-iv/

Empiezo este pegando la imagen de teoría de conjuntos del post anterior y después el fragmento del texto de la es.wikipedia sobre números trascendentes, que no he explicado todavía.

teoría de conjuntos

teoría de conjuntos

Iré explicando párrafo a párrafo. En estos otros dos enlaces a la wikipedia española tenéis un esquema y un resumen de diferentes estructuras algebraicas (estoy preparando un resumen en texto que publicaré en otro post explicando distintos tipos sin o con pocas fórmulas, que en general no se entienden o pueden dar lugar a errores de interpretación).

[La notación en el enlace puede ser interpretada de forma ambigua:
Una estructura algebraica se define en al menos un conjunto A , con al menos un elemento, es decir, no vacío…
El cero (o un punto del espacio afín p=0+p, actuando como origen de otro sistema de referencia), no sirve para vectores, por lo que os contaba antes, si se consideran escalares, habría que ver de dónde salen, y para qué se utilizan puesto que el mal llamado vector nulo, es estrictamente hablando, un punto, una posición, y no un vector (un módulo |0| no tiene origen, ni final, ni se sabe que dirección, ni que sentido tiene).
… (el conjunto A, en el enlace aparece como ‘a’ subcero), y una (o más) operacion(es) definida(s) dentro (internas) o fuera (externas) del conjunto A (o conjuntos A, B, C…), ○ (receta dos…), que en el enlace aparecen como de ‘a’ subuno hasta ‘a’ subene.
Por ejemplo:
(A,○)      A es el conjunto, y ○ es la ley de composición.
\scriptstyle (K,+,\cdot)    K es el conjunto, y +, · son las dos operaciones (recetas 🙂 )].

Un cuerpo es un tipo de estructura algebraica.

En general, si tenemos dos cuerpos \scriptstyle (K,+,\cdot) y \scriptstyle (L,+,\cdot) de forma que el segundo es extensión del primero, diremos que \scriptstyle \alpha \in L es trascendente sobre \scriptstyle K si no existe ningún polinomio \scriptstyle p \in K[x] del que \scriptstyle \alpha\, es raíz (\scriptstyle p(\alpha)=0\,)

\scriptstyle \alpha \in L, alfa es una NO-solución aquí, y es perteneciente la extensión del cuerpo K ampliado, L, porque K sí tiene que tener soluciones definidas, es decir, considerando otro cuerpo (T,+,·), éste sería la unión DISJUNTA (sin elementos en común) de K y L

K de x, en la expresión \scriptstyle p \in K[x] es un conjunto de polinomios p con coeficientes en el cuerpo K

Dicho de otro modo, si K se puede describir con un sistema de ecuaciones, éste es al menos compatible (y si la solución es única, es compatible determinado). En cambio L, no tiene soluciones. Y alfa es entonces un número trascendente.

[Si algún colaborador de Wikipedia lee mis posts, ruego transmita el siguiente consejo a la comunidad: En definiciones matemáticas sería mejor no terminar expresiones con signos de puntuación, y poner la numeración a enlaces y referencias en letra, ya que por ejemplo, la “nota 2” pegada como un superíndice a un número ‘x’, se puede leer como ‘x’ al cuadrado].

Voy a intercalar aquí otro extracto del enlace a la explicación de lo que es un cuerpo matemático, que comentaré antes de seguir explicando.

Definición de cuerpo matemático

Un cuerpo es un anillo de división conmutativo, es decir, un anillo conmutativo y unitario en el que todo elemento distinto de cero es invertible respecto del producto. Por tanto un cuerpo es un conjunto K en el que se han definido dos operaciones, + y ·, llamadas adición y multiplicación respectivamente, que cumplen las siguientes propiedades:

K es cerrado para la adición y la multiplicación

[operaciónes internas]

Para todo a, b en K,
a + b
a · b
pertenecen a K (o más formalmente, + y · son operaciones matemáticas en K)

Asociatividad de la adición y la multiplicación

Para toda a, b, c en K, a + (b + c) = (a + b) + c
a · (b · c) = (a · b) · c

Conmutatividad de la adición y la multiplicación

Para toda a, b en K, a + b = b + a
a · b = b · a

Existencia de un elemento neutro para la adición y la multiplicación

Existe un elemento 0 en K, tal que para todo a en K, a + 0 = a
Existe un elemento 1 en K, diferente de 0, tal que para todo a en K, a · 1 = a

Existencia de elemento opuesto y de inversos:

Para cada a en K, existe un elemento –a en K, tal que a + (- a) = 0
Para cada a ≠ 0 en K, existe un elemento a-1 en K, tal que a · a-1 = 1

Un número ‘a’ elevado a una potencia con exponente negativo como a-1 es igual al mismo número ‘a’ elevado a la misma potencia con exponente positivo, pero en el denominador (abajo) de una fracción de numerador (arriba) 1, en un quebrado:

 a-1 = (1/a1)

Distributividad de la multiplicación respecto de la adición

Para toda a, b, c, en K, a · (b + c) = (a · b) + (a · c)

El requisito a ≠ 0 asegura que el conjunto que contiene solamente un cero (si lo contiene) no sea un cuerpo, y de paso elimina la posibilidad de que en el (conjunto que sí tiene estructura de) cuerpo existan divisores de cero [ver nota 1] distintos de 0, lo que lo convierte también en un dominio de integridad.

Directamente de los axiomas, se puede demostrar que (K, +) y (K – { 0 }, ·) son grupos conmutativos y que por lo tanto (véase la teoría de grupos) el opuestoa y el inverso a-1 son determinados únicamente por a.

Además, el inverso de un producto es igual al producto de los inversos:

(a·b)-1 = a-1 · b-1

con tal que a y b sean diferentes de cero. Otras reglas útiles incluyen

a = (-1) · a

y más generalmente

– (a · b) = (-a) · b = a · (-b)

así como

a · 0 = 0

todas reglas familiares de la aritmética elemental.

NOTA 1: El 24, para las horas de un reloj es un divisor de cero en el sistema de 24 horas, así si cogemos… 44 horas, por ejemplo, al ser 24 un divisor de cero, el resto nos da 20 horas, que son las que habría que sumar para calcular el tiempo transcurrido.

Hasta aquí, sigo explicando en otro momento, desde aquí.

Update 17 mayo 2016

Definición de divisor de cero:

[¡Ah! ¿Pero tiene divisores? 🙂 ].

Sean a≠ 0 y b ≠ 0 dos elementos distintos [de cero] de un anillo R tales que ab = 0

a y b se denominan divisores de cero, si a es divisor a izquierda y b es divisor a derecha

NÓTESE que arriba viene escrito en ese orden: ‘a’ a la izquierda, y ‘b’ a la derecha.

[Esta distinción se hace PRECISAMENTE y entre otras cosas porque el producto vectorial (también llamado producto cruz) NO ES CONMUTATIVO, la aplicación en física son fuerzas, que como (no) todos sabéis, se calculan con vectores, y da lugar a propiedades como la “circularidad”, por ejemplo].

El anillo Z de los enteros no tiene divisores de cero, pero en el anillo Z × Z, o Z2 (donde la suma y el producto se realizan componente a componente),

[que en este caso es un producto cartesiano…]

se tiene que (0,1) × (1,0) = (0,0), así que tanto (0,1) como (1,0) son divisores de cero.

[No está correctamente escrito:

M a la 2, es una matriz cuadrada de orden dos y es lo que arriba viene escrito como Z a la 2, un producto cartesiano da un par (en el caso de solamente dos entradas) ordenado.

El producto de matrices se hace multiplicando filas por columnas y sumando componente a componente, por eso:

“se tiene que (0,1) × (1,0) = (0,0), así que tanto (0,1) como (1,0) son divisores de cero“.

(0,1) × (1,0) =((0·1),(1·0))=(0,0)

Pero además, no es del todo cierto, porque no se están multiplicando dos matrices cuadradas de orden dos, sinó dos vectores de dos componentes cada uno, si se hace el producto matricial añadiendo un vector de componentes (0,0) en las posiciones adecuadas según se haga el producto vectorial de las matrices, da un DOS (tranquilidad, si no lo entendisteis os podéis seguir dedicando a esta rama de las ciencias… lo explicaré después), que en binario es CERO, pero en otras bases no lo es].

En el anillo cocienteZ/6Z, la clase del 4 es un divisor de cero, ya que 3×4 es congruente con 0 módulo 6

[3·4 son 12, que son también 2·6, y como estamos usando aquí un “reloj de seis horas” volvemos a estar en la posición de partida, sólo que han pasado 2 días].

De manera general, los divisores de cero existen en el anillo Z/nZ si y solo si n es número compuesto  [ver nota 2 más abajo] y corresponden a aquellos números que no son primos relativos con n.

(extracto del enlace de arriba “divisor de cero” de es.wikipedia).

Definiciones alternativas

Sintéticamente, Un anillo P se llama cuerpo, si consta no sólo del cero y en él es posible la división en todos los casos (salvo la división por cero), determinándose esta unívocamente, esto es, si para cualesquiera elementos m y n de P, de los cuales n es diferente de cero, existe en P un elemento q, y sólo uno, que cumple la igualdad nq = m. El elemento q se denomina cociente de los elementos m y n y se denota q = m/n

  • Un cuerpo F es un dominio de integridad que contiene para cada elemento a ≠ 0 un «inverso» a-1 que verifica la igualdad:

a-1·a = 1

[1 es aquí el elemento unitario, en matrices y dependiendo del orden, módulo, y forma (una matriz 2×3, se puede multiplicar con otra matriz 5×2, por ejemplo…) de las matrices, tiene diferentes valores para cada componente de su análogo en cálculo matricial: la matriz identidad, generalmente denotada I].

NOTA 2:

Número compuesto

Todo número natural no primo, a excepción del 1 (natural no primo), se denomina compuesto, es decir, tiene uno o más divisores distintos a 1 y a sí mismo. También se utiliza el término divisible para referirse a estos números.

Los 30 primeros números compuestos son: 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 22, 24, 25, 26, 27, 28, 30, 32, 33, 34, 35, 36, 38, 39, 40, 42, 44 y 45.

Y aquí viene la liada-desliada.

  • ?

Considerando que en base 10, el alfabeto es de 10 dígitos, pero, el cero, sólo es para desplazar la posición (la columna en un ábaco, al igual que en cualquier otra base…), de las unidades hacia la izquierda del dígito (conviertiendo unidades en las decenas, centenas, millares…), o hacia la derecha, si va a la izquierda del dígito (pasando entonces las unidades a décimas, centésimas, milésimas…)… 1; 10; 0,1 (0.1 in English) tenemos:

{1,2,3,4,5,6,7,8,9}∪{0}

1+2+3=6 ; 6/3=2

4+5+6=15 ; 15/3=5

7+8+9=24; 24/3=8

2+5+8=15

Ya lo dije hace tiempo… el 15, es importante.

Además

1+2+3+4+5+6+7+8+9=45

45+10=55

55·2=110

1+2=3 ;3/2=1,5 (1.5 in English).

1,5×10=15

(or 1.5×10=15 in English, I’ll go on in Spanish, beware of decimal sign: a coma, in Spanish).

3+4=7 ;7/2=3,5

5+6=11 ;11/2=5,5

7+8=15 ; 15/2=7,5

9+10=19 ; 19/2=9,5

Multiplicando por diez tenemos todas estas cifras ordenadas en orden estrictamente creciente de veinte en veinte empezando en 15:

15,35,55,75,95

y sumando…

275

que dividido por quince y multiplicado por tres da cincuenta y cinco.

Y de momento, y a falta de algún dibujo, lo dejo aquí hasta la próxima actualización.

Update 21 mayo 2016

numbers II

numbers II

En el dibujo de arriba tenéis una de las posibles representaciones del primer bloque de operaciones matemáticas, en el que sumo dígitos de tres en tres, y divido por tres, que escribí en el texto de la actualización anterior (17 de mayo).

Si haceis la media proporcional entre uno y dos el resultado es 1,5. No lo tengo dibujado así, en lugar de eso subiré otro dibujo en que se ven operaciones con círculos y cuadriláteros haciendo corresponder la representación de la unidad (el 1, ese número solitario…) con el radio de una circunferencia, y también con la mitad del lado del cuadrilátero en que esa circunferencia está inscrita.

Geometría redonda

Geometría redonda

(Por cierto, he puesto contraseña para esa pestaña del blog porque hace tiempo que vengo notando que un grupo de gente ociosa se dedica a entrar sin permiso y modificar algunas partes, sean de texto, imágenes o enlaces, y como comprenderéis, haciendo todo esto yo sola (llevo escritos más de 270 posts), no me da mucho tiempo para ocuparme de determinados aspectos, entre ellos la seguridad, así que si tenéis interes en lo que llevo escrito sobre ese tema o cualquier otro, mejor me llamáis por teléfono directamente).

Voy publicando mientras me asomo a contemplar el amanecer aceitunero…

Conjunto numerable…

El conjunto de números algebraicos es numerable, mientras el conjunto de números reales es no numerable; por lo tanto, el conjunto de números trascendentes es también no numerable,,o tiene la potencia [orden] del [subconjunto] continuo.

Dicho de otra forma, el conjunto de números con soluciones algebraicas dentro del propio conjunto y en las que no hay divisores de cero (dominio de integridad) es numerable si Y SÓLO SI se puede establecer una correspondencia biyectiva en la que a cada elemento del dominio le corresponde un elemento y sólo uno del codominio, pudiendo establecerse entonces (Y SÓLO ENTONCES) un conjunto de sucesiones de las funciones en las que cada elemento n-iésimo va dando diferentes “outputs” para cada “input”.

Sin embargo, existen muy pocos números trascendentes conocidos, y demostrar que un número es trascendente puede ser extremadamente difícil. Por ejemplo, todavía no se sabe si la constante de Euler (\scriptstyle \gamma\,) lo es, siendo

\textstyle \gamma\, = \textstyle 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4}\cdots + \frac{1}{n} - \ln(n), cuando \textstyle n \to +\infty \,\!.

De hecho, ni siquiera se sabe si \scriptstyle \gamma es racional o irracional.

[Esta parte la comentaré en un post separado sobre logaritmos]

  • Los logaritmos naturales de reales positivos, salvo, potencias de 10, son números trascendentes, de la misma manera los valores de funciones trigonométricas, excepto en algunos casos; hay forma de dar un número trascendente a través de fracciones continuadas, como el caso del número de Arquímedes o π. La dificultad estriba en probar si el número propuesto es o no trascendente.

La propiedad de normalidad de un número

[la distribución de dígitos en las cifras del número es uniforme siendo sus dígitos una secuencia de dígitos al azar dentro del alfabeto del conjunto al que el número pertenece]

puede contribuir a demostrar si es trascendente o no.

Y aquí voy a dar una referencia de un libro que tengo:

“Cálculo infinitesimal en una y varias variables. Parte 1: Teoría y problemas resueltos” de Emilio Suárez Díaz (Universidad de Oviedo), Jorge Jiménez Meana (Universidad de Oviedo), y Ana Méndez García (Universidad de Oviedo), Edita: Emilio Suárez Díaz. Primera edición: Mayo de 1994. I.S.B.N. 84-605-0092-6. Dep. Leg.: AS.-1230-1994.

Imprime: La Industria, S.L.- Imprenta D.G.M.-Gijón.

Impreso en España-Printed in Spain

Series alternadas:

No voy a reproducir el texto tal cual está, voy a redactarlo de otra forma resumiendo formalismos que como los propios autores dicen en la introducción:

“… Es por eso por lo que hemos preferido incluir aquellas demostraciones que consideramos largas o tediosas… en Apéndices al final de cada tema…”

Las series alternadas son un caso particular de suma de sucesiones de números reales cuyo término general cumple que para todo n perteneciente a los naturales el termino enésimo es estrictamente mayor que cero, pero además cada término enésimo va multiplicado por (-1) elevado a (n+1), con lo cual a cada paso de n, a n+1, el signo del resultado del cálculo de aplicar el término general de la sucesión pasa alternativamente de positivo a negativo, ya que si por ejemplo n=1, Xn=(-1)elevado a (1+1)multiplicado por(el resultado de las operaciones descritas)=(-1)elevado a 2multiplicado por(resultado)=(1)(resultado), y si aumentamos al natural siguiente, n=2, el menos uno que va delante de la expresión a calcular pasa a ser elevado a n+1=2+1=3, y (-1) elevado a 3 es (-1).

Y de momento y antes de enunciar el Teorema de Leibniz de modo “amigable”, lo dejo aquí hasta la próxima actualización.

Acerca de María Cristina Alonso Cuervo

I am a teacher of English who started to write this blog in May 2014. In the column on the right I included some useful links and widgets Italian is another section of my blog which I called 'Cornice Italiana'. There are various tags and categories you can pick from. I also paint, compose, and play music, I always liked science, nature, arts, language... and other subjects which you can come across while reading my posts. Best regards.
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