Pulsos de sincronización (IV)

Pulsos de sincronización (IV)

6 May de 2016 @ 08:02

[Update 6 Mayo 2016, por la tarde]

[Update 11 Mayo 2016]

[Por cierto que en los posts anteriores: “¿Será posible /’posibol/?”, y “Azúcares e isomerías varias”, aunque leyendo se ve claramente, me faltó poner las fórmulas simples de la sacarosa, glucosa, y fructosa, donde se ve el número total de carbonos, hidrógenos y oxígenos. Lo comento aquí, y seguiré esa otra serie con el segundo título, que es más serio, que el primero…].

Post anterior de esta serie.

Este sí va a ser largo y complicado de entender, porque iré incluyendo definiciones formales que después explicaré de forma más sencilla. Si no entendéis el hullabaloo, seguir leyendo hasta que os encontréis alguna aceituna, digo frase,  inteligible.

Además de el Cero, los Naturales, los Enteros, y los Racionales, hay otros números que se necesitan para “dibujar” las líneas en todo el espacio tridimensional. Si pensamos en una línea recta donde los puntos (nudos), son números naturales y enteros, la distancia entre punto y punto no se puede dibujar por completo sin salirse de esos tres tipos de número (MÁS EL CERO).

Ni siquiera se puede hacer en toda la extensión de esa línea recta una estructura “encerrada en capas”, es decir, hay partes de esa recta que sólo contienen números de un tipo, o dicho de otro modo, hay partes de esa recta donde un número no es a la vez perteneciente a un tipo de conjunto numérico, y a otro tipo de conjunto (ni mucho menos a todos los demás tipos) numérico, a la vez.

Hay varias subdivisiones (topologías, espacios, cerramientos, clausuras, intervalos, entornos…) dentro de la recta (el plano, el espacio, y las siguientes definiciones de más de tres dimensiones).

Voy a empezar explicando lo que es un número trascendente. Pego la definición, y voy editando y comentando.

Número trascendente

Un número trascendente, también número trascendental (enlace en inglés), es un número real que no es raíz de ninguna ecuación algebraica con coeficientes enteros no todos nulos.

En matemáticas, el conjunto de los números reales (denotado por ) incluye tanto a los números racionales ([naturales y no naturales] positivos, [enteros y no enteros positivos y] negativos y el cero) como a los números irracionales [no tienen divisores exactos, las cifras decimales no terminan nunca, sean o no periódicas puras, o mixtas] y en otro enfoque, trascendentes y algebraicos.

[El conjunto de los números reales (denotado por ) no incluye los números complejos, C].

Un número real trascendente no es un número algebraico, pues no es solución de ninguna ecuación algebraica con coeficientes racionales.

Tampoco es número racional, ya que estos resuelven ecuaciones algebraicas de primer grado, al ser real y no ser racional, necesariamente, es un número irracional.

En este sentido, número trascendente es antónimo de número algebraico

Es decir, no hay ningún número trascendente que sea a la vez número algebraico, o lo que es lo mismo, la intersección entre número trascendente y número algebraico es el conjunto vacío, no contiene ningún elemento [tampoco el cero, tendencia matemática a equiparar la nada con el cero, no siendo igual una que otro].

La definición no proviene de una simple relación algebraica, sino que se define como una propiedad fundamental de las matemáticas. Los números trascendentes más conocidos son π y e.

Antes de continuar con este post, voy a contaros algo ilustrativo, literario, y bastante fácil de entender.

“El Principito” el libro de Antoine de SaintExupéry, es una obra muy conocida (o al menos lo era antes de la invasión del reguetón…). Recuerdo un fragmento que leí siendo niña en el que se definía un punto como “la sombra de la sombra de una sombra”. Es una buena aproximación, pero da lugar a error:

Si cogéis un objeto y lo ilumináis de forma que su sombra caiga sobre una superficie plana y perfectamente perpendicular al lugar del que sale la luz, esa sombra es la proyección ortoNORMAL a la pantalla del objeto, y esa sombra pasa a ser la superficie cubierta bidimensional (de dos dimensiones) y encerrada por la silueta de un objeto cualquiera  (los objetos tienen tres dimensiones). Una hoja de papel, aunque parece un plano ideal, no lo es, puesto que además de ancho y alto también tiene grosor. La sombra de un objeto sobre una hoja de papel sí es un plano de dos dimensiones.

Matemáticamente si ese plano se pone de perfil, al no tener grosor, no proyectaría nada, pero matemáticamente se sobreentiende que si se vuelve a iluminar sobre otra superficie plana perfectamente perpendicular al rayo proyectante, sí que proyectaría algo, y ese algo (digamos que la sombra de una hoja de papel puesta de perfil, proyectada sobre otra hoja de papel), es una línea recta de una dimensión.

Si se pone esa sombra de una sombra otra vez de perfil y se ilumina del mismo modo, se obtiene un punto, y un punto no tiene dimensión, sólo posición, pero nunca dimensión (cero dimensiones).

Si en lugar de proyecciones ortonormales, se proyectan ortogonalmente (en cualquier otro ángulo distinto de noventa grados respecto a la superficie del plano proyectante), las sombras proyección no tienen una correspondencia de tamaño indicativa de las medidas reales de los objetos.

Si vivís en Oviedo o cerca, podéis pasaros por las inmediaciones de la catedral del Salvador y ver como la sombra de la estatua del rey Alfonso Segundo “el Casto” se proyecta sobre una esquina exterior de la catedral, que no es una superficie plana. Si cogieseis esa sombra proyectada sobre esa superficie, volveríais a obtener otra sombra de dimensión mayor que uno, no obtendríais una línea recta, luego la condición de ortogonalidad es necesaria, pero no suficiente para obtener un plano tras haber proyectado un objeto sobre otra superficie, superficie que además ha de cumplir también la condición de planicidad.

Alfonso segundo

Estatua de Alfonso II “el Casto” inmediaciones de la Catedral de Oviedo, Asturias, España, Europa, planeta Tierra, Sistema Solar, Vía Láctea, al ladito de Andrómeda, en este Universo, esta brana del Multiverso

Voy publicando y sigo actualizando (ganas me dan de dejaros la definición formal para que os salga humo por las orejas… pero soy buena persona y lo iré explicando… en las siguientes actualizaciones de este post, en las que iré poniendo la fecha arriba del todo y en la parte del post donde siga escribiendo).

Update 6 Mayo 2016, por la tarde

En el texto de debajo habla de un tipo de estructura de conjuntos numéricos, el Cuerpo. Independientemente del tipo de números que sean elementos de un conjunto, estos elementos se comportan de diferente manera dependiendo de la estructura del propio conjunto. Hay unas propiedades previas para el estudio de tipos de estructuras de conjuntos:

1. Reflexiva. Un elemento es igual a sí mísmo. La demostración de esta propiedad implica la existencia de otro elemento llamado identidad, de forma que ese elemento identidad no hace cambiar a los otros elementos del conjunto. Por ejemplo: ‘a’ + 0 = ‘a’. O dicho de forma más coloquial, todo elemento es igual a sí mísmo.

2. Simétrica. ‘a’ funciona con ‘b’ como ‘b’ funciona con ‘a’.

3. Transitiva. Con tres elementos del conjunto, ‘a’ es con ‘b’ igual que ‘b’ es con ‘c’, y entonces ‘a’ se comporta igual con ‘c’. El comportamiento de los elementos del conjunto pasa de uno a otro a través de un tercero.

4. Existencia de elemento neutro respecto a una operación (el 0 para la adición, y el 1 para el producto escalar tal como los conocemos habitualmente). El elemento que al ser “cocinado” con cualquier otro elemento no le hace nada (… digamos que sería una cocina apagada…): 2 multiplicado por 1 es 2, o 3+0=3.

5. Existencia de elemento recíproco (opuesto para la suma, e inverso para el producto escalar, tal como los conocemos habitualmente). El elemento que yo llamo recíproco, y el resto del mundo llama inverso es el que al ser operado con el resultado de haber hecho una operación previa, nos devuelve al elemento de partida.

Por ejemplo 20/5=4, entonces 5*4=20 [4, sería el inverso de 20 respecto a un quinto], pero además esto se hace de forma normalizada respecto a la unidad [ese número solitario llamado uno, 1], y más propiamente4*(1/4)=1, el inverso (en este caso de la multiplicación) de 4, es 1/4, ya que multiplicando 1/4 por 4, llegamos a 1, que es el neutro para la multiplicación.

Para la suma el elemento neutro es el cero, ya que por ejemplo, 7+0=7, y entonces el opuesto de 7, es -7, ya que 7+(-)7=0

6. Conmutativa. Si los elementos de un conjunto cumplen respecto a una operación (receta) definida en ellos que es lo mismo coger el elemento ‘a’ y “cocinarlo” con ‘b’, que coger el elemento ‘b’ y “cocinarlo” con ‘a’, esta propiedad se llama propiedad conmutativa, y se dice del conjunto que presenta conmutatividad:

‘a’ “cocinado” con ‘b’ da el mismo resultado que ‘b’ “cocinado con ‘a’, por ejemplo, para la suma de números reales: a+b=b+a.

De una operación (como por ejemplo la suma, denotado ‘+’), si el resultado está dentro del conjunto objeto de estudio, se dice que es interna, si el resultado está fuera, se dice que es externa. Por ejemplo, si consideramos las 24 horas pocibles en un reloj, y sumamos 15+20, el resultado da 35. 35 no es un número de horas dentro del cómputo de un sólo día, por tanto queda fuera de las 24 horas.

[Si a las 15:00 horas de hoy, le sumamos 20 horas que tarda un tren de larga distancia en hacer un viaje, tenemos las 35:00 horas, pero eso no nos da una fecha válida, puesto que no hay días de 35 horas, tenemos entonces que pasar a otro conjunto de 24 horas, las del día siguiente, y entonces, sabemos que en un viaje de 20 horas en tren, saliendo hoy a las 15:00, llegamos mañana a las 11:00 de la mañana, el cálculo de esa adición es una suma externa al conjunto de horas pertenecientes al día de hoy].

7. Asociativa. Con tres elementos, ‘a’ operado con ‘b’ da un resultado, ‘resultado’ operado con ‘c’, da el resulltado final, y a este último se llega igual si se hace ‘a’ operado con el ‘resultado’ de operar ‘b’ con ‘c’. Por ejemplo:

(1+3)+7=4+7=11;    1+(3+7)=1+10=11

8. Distributiva. Para esta propiedad además del conjunto se necesitan dos operaciones (que pueden ser internas o externas), pero esto lo explico en otro momento.

Update 11 Mayo 2016

teoría de conjuntos

teoría de conjuntos

En la imagen de arriba se ve un resumen de algunas propiedades de conjuntos.

La propiedad distributiva necesita dos operaciones (internas; interna, externa; externa, interna; externas), tres elementos y un (o dos, o más) conjuntos(s), para ser definida.

Si cogemos la opción más sencilla y familiar, la de la distributiva de la suma y el producto (escalar) para los números reales:

(Esa ‘A’ mayúscula al revés se lee “para todo” o “para cada”, la ‘E’ de la imagen es para “entorno” o “envoltura”, cambiando el circulito’º’ por el ‘*’ de la multiplicación, y el ‘*’ por el signo ‘+’ de la suma, y ‘E’ por ‘R’ tenemos):

Para todo elemento ‘a’, ‘b’, ‘c’ pertenecientes a los reales R, la distributiva respecto a la suma y el producto cumple que:

a*(b+c)=(a*b)+(a*c)

4*(5+7)=(4*5)+(4*7)=48=20+28=48

Si en lugar de hacer las operaciones en R, las hacemos en un espacio vectorial V, y cogemos R con estructura de “Cuerpo”, la distributiva de la suma y el producto escalar…

Un producto puede ser escalar o vectorial, el comportamiento del producto escalar y el producto vectorial es diferente, ya que vectores y escalares se comportan de modo distinto.

Vg. (Vg, es una abreviatura que hace mucho que no leo, y que quiere decir “verbi gratia”, que es una manera resabida de decir, “por ejemplo”):

Con el producto vectorial:

  • “El orden de factores SÍ altera el producto”.

Vectores y escalares NO se comportan igual:

Dicho de forma sencilla, un vector tiene ORIGEN, módulo, dirección, y sentido.

Un escalar sólo tiene módulo y dirección, por eso no funcionan igual.

Por ejemplo un vector (colineal con las abscisas) puede tener un valor de -5, su origen estaría en el origen de coordenadas, y su extremo estaría en el menos cinco (unidades). El escalar correspondiente a ese vector estaría tambien en el eje de abscisas, y su valor es el valor absoluto de -5, como -5 es menor que cero (es decir, negativo), su valor absoluto es:

|-5|=(-)-5=+5=|+5|

Más cinco y menos cinco, son vectores opuestos, su suma vectorial da algo que no es un vector, aunque se le llama vector nulo (y se denota con un “cero” con una flechita encima apuntando hacia la derecha), pero en realidad no es un vector, es una posición: el origen de coordenadas en este ejemplo.

[Siempre que aparece un cero, el comportamiento es impredecible, por ese motivo, entre otros se ha desarrollado la teoría de cálculo de límites. Ese tipo de comportamiento se llama asintótico.

En este caso, y más correctamente, YO, definiría los espacios vectoriales como conjuntos de números (los que sean… [ver nota 1]), con el elemento {0} [ver nota 2], y el cuerpo ‘k’ de los escalares. Pero es que YO, soy YO, el resto del mundo siempre me suele dejar a cuadros…].

La suma de los vectores -5 y +5 es 0, pero la suma de sus módulos, que es lo que son los escalares, es +10, y como veis (y en el hipotético caso en que no lo viéseis… dedicaros a otra rama del saber…) 0 y 10, no son lo mismo.

NOTA 1: “los que sean”, porque en los procesos en que se aplican estas teorías se estudian subconjuntos, topologías, cerramientos, intervalos, entornos… que constan de partes de otros conjuntos mayores, porque si no, la continuidad, o la necesidad de un producto, o una suma, internos, por ejemplo, no se cumplirían. Es una forma de acotar los sistemas objeto de estudio. Y en concreto para procesos y tecnologías cíclicas o periódicas, se suele usar un divisor, de forma que al llegar a determinada cardinalidad (cantidad) de los elementos, se “empieza” otra vez, como en el caso de las horas de una fecha en un reloj. Y también porque Naturales, Enteros, Racionales, Irracionales, Reales, Imaginarios, y Complejos no se comportan del mismo modo.
NOTA 2: El elemento {0}, en teoría de conjuntos sería una UNIÓN, ∪, con el conjunto, sub conjunto del sub-espacio estudiado.Y esto no se suele pensar así. Por ejemplo:
Generalmente la UNIÓN, se calcula como una “suma”, ‘+’,  no como una “multiplicación” (que se usa para la “intersección”, ∩).
En operadores lógicos, la UNIÓN, es un OR, ||, o también un XOR (siendo este último excluyente, y más adecuado para cálculos de adjuntos, disjuntos o complementarios).
Las tablas de verdad para el OR (en cálculos de dos fuentes de entrada y una salida) son, siendo A, y B las entradas (inputs), y P el resultado (output):
A=1+B=1; P=2; P=NOT-0 entonces (then) P=1
A=1+B=0; P=1; (P=NOT-0)
A=0+B=1; P=1, (P=NOT-0)
A=0+B=0; P=0
El OR solamente da un cero, si ambas entradas son cero.
El XOR, da también un cero en el primer caso, ya que las dos entradas son un “YES”, o un “HIGH”, o un “UNO”, o un “TRUE”…, y al ser excluyente, sólo devuelve un “VERDADERO” si sólo una de las entradas “conduce”.
Todo esto tiene sus implementaciones en circuitos lógicos y otros campos de la física, la química, la tecnología…
En el caso de la intersección, ∩, se suele calcular como un producto, y el elemento {0}, no es un vector, aunque se le llame así, y los cálculos son considerados como productos internos cuando la realidad es que son productos externos.
Y también es frecuente la implementación en versiones NOT, teniendo esto unos resultados muy diferentes en realidad, todos con sus consecuencias según el campo de aplicación.

En el caso del producto, el vectorial y el escalar usan las funciones seno y coseno, los módulos, y los vectores unitarios, ya que en general el caso más frecuente es que los vectores no sean colineales, ni coplanarios, y para hallar sus proyecciones sobre los ejes de referencia se usan estas herramientas de cálculo geométrico.

(Y como seguramente ya se os ha levantado un ligero dolor de cabeza a base de leer mis comentarios insulsos… lo dejo de momento aquí, y seguiré explicando cuando considere que ya os ha hecho efecto el ibuprofeno… 🙂 ).

En general, si tenemos dos cuerpos \scriptstyle (K,+,\cdot) y \scriptstyle (L,+,\cdot) de forma que el segundo es extensión del primero, diremos que \scriptstyle \alpha \in L es trascendente sobre \scriptstyle K si no existe ningún polinomio \scriptstyle p \in K[x] del que \scriptstyle \alpha\, es raíz (\scriptstyle p(\alpha)=0\,).6

El conjunto de números algebraicos es numerable, mientras el conjunto de números reales es no numerable; por lo tanto, el conjunto de números trascendentes es también no numerable.7 . O tiene la potencia del continuo.

Sin embargo, existen muy pocos números trascendentes conocidos, y demostrar que un número es trascendente puede ser extremadamente difícil. Por ejemplo, todavía no se sabe si la constante de Euler (\scriptstyle \gamma\,) lo es, siendo

\textstyle \gamma\, = \textstyle 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4}\cdots + \frac{1}{n} - \ln(n), cuando \textstyle n \to +\infty \,\!.

De hecho, ni siquiera se sabe si \scriptstyle \gamma es racional o irracional.

  • Los logaritmos naturales de reales positivos, salvo, potencias de 10, son números trascendentes, de la misma manera los valores de funciones trigonométricas, excepto en algunos casos; hay forma de dar un número trascendente a través de fracciones continuadas, como el caso del número de Arquímedes o π.8 La dificultad estriba en probar si el número propuesto es o no trascendente.

La propiedad de normalidad de un número puede contribuir a demostrar si es trascendente o no.

Acerca de María Cristina Alonso Cuervo

I am a teacher of English who started to write this blog in May 2014. In the column on the right I included some useful links and widgets Italian is another section of my blog which I called 'Cornice Italiana'. There are various tags and categories you can pick from. I also paint, compose, and play music, I always liked science, nature, arts, language... and other subjects which you can come across while reading my posts. Best regards.
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