Normal, lo que se dice normal… no lo es mucho (¿o sí?)

Normal, lo que se dice normal… no lo es mucho (¿o sí?)

[Update 10 de mayo 2016, no busquéis debajo porque escribí este post de manera rápida a modo de comentario separado, pero voy a editar el texto que sigue para hacerlo más fácil de entender, y hacer alguna matización más].

[…Así estamos…].

Número normal

En matemáticas, un número normal es un número real cuyas cifras en cualquier base están distribuidas siguiendo una distribución uniforme, siendo todas las cifras igualmente probables, así como todos los pares, tríos, etc. Las cifras de ese número son tanto los de su parte entera como la sucesión infinita de dígitos que hay detrás de la coma o parte fraccionaria.

Dicho de otro modo… si tenemos un punto y hacemos centro en ese punto, radialmente, alrededor de ese punto las propiedades CONSIDERADAS (en este caso las propiedades consideradas son… en base decimal {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} las cifras pueden aparecer aleatoriamente en la secuencia de dígitos del número ‘x’), se distribuyen igual.

[El texto que estoy comentando aquí es de uno de los enlaces a la es.wikipedia del post ‘Pulsos de sincronización(IV)’. El de ‘número normal’. Están hablando de probabilidades de ordenación del conjunto de dígitos de la base: en base dos, o base binaria, sólo hay dos dígitos posibles, o el ‘uno’, o el ‘cero’, pero los números en base binaria (o en cualquier otra base) pueden tener una longitud (cantidad de letras en una palabra de un alfabeto) de ‘n’ caracteres. Así, en binario con una longitud n=4, por ejemplo, tenemos una sucesión de cuatro cífras formadas por una aparición ordenada de los dos dígitos posibles ‘0’, o ‘1’.

Por ejemplo, el número 1101, en base binaria tiene una longitud ‘n‘ de cuatro cifras, y está codificando un valor numérico de 1 por 2 a la 0, más 0 por 2 a la 1, más 1 por 2 a la 2, más 1 por 2 a la 3, que son:

1*1 (todo número elevado a cero es uno)=1,

0*2=0

1*4=4

1*8=8

1101, en base binaria, codifica un valor de 8+4+0+1=13 en base decimal ]

Definición

Sea b > 1 (<-uno, ese número tonto y solitario…) un número entero y x un número real. Consideremos la sucesión de cifras de [el número] x en la base de numeración b.

Si s es una sucesión finita de cifras en base b, escribiremos N(s, n) para expresar el número de apariciones de la sucesións entre los n primeras cifras de x.

En informática hay un tipo de métodos (dinámicos), o funciones|procedimientos (estáticos), que se llaman ‘funciones de cadena’. En PHP, por ejemplo substr(‘sílab’, 5, len), busca ‘silab’ dentro de un texto a partir de la posición 5 y hasta el final del texto (cadena) a buscar.

N(s,n), indica las veces que la ‘sucesion’ s, aparece entre las ‘n’ primeras cifras del número.

El número x se considera normal en base b (b-normal) si

\lim_{n\to\infty} \frac{N(s,n)}{n} = \frac{1}{b^{k}}

para cada sucesión s de longitud k.

[‘s’ son los dígitos del número, ‘n’ es la cantidad de dígitos de la cifra, ‘b’ es la base en que el número está codificado].

Expresado en palabras, la probabilidad de encontrar la sucesión s entre las cifras de x es precisamente la esperada si la sucesión de cifras ha sido producida completamente de forma aleatoria. El número x es un número normal (o un número absolutamente normal si es normal en cualquier base b).

Es decir, un número normal, en cualquier base (binaria, [ternaria, cuaternaria, …, ] octal, decimal, hexadecimal,…), cumple que es el centro de una propiedad que se distribuye exactamente igual en todas las direcciones de las n-dimensiones consideradas.

(la k, exponente de b, es para añadirle misterio a la fórmula…).

La ‘k’, indica la potencia a que se debe elevar la base ‘b’ en función del lugar n-ésimo en la sucesión (s), de dígitos (n), de la cifra del número (x), en la base (b).

(Pero el número ‘x’, no empieza a mostrar un comportamiento predecible si las cifras se ordenan al azar (aleatoriamente), si no se hacen las variaciones un número de veces suficiente).

En un sentido más general, la distribución uniforme del ordenamiento de los dígitos del afabeto numérico de la base considerada…

(por ejemplo, en hexadecimal, el alfabeto está formado por el conjunto de estos16 elementos {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F}, que son los dígitos posibles en base hexadecimal)

… las diferentes variaciones con repetición de los ‘k’ elementos de la base ‘b’, tomados de ‘n’ en ‘n’, son todas las diferentes formas posibles de ordenar los elementos en un número ‘x’, sin que se repitan.

La N, es la topología en que el número x, se comporta de modo normal, en función del número de apariciones de la secuencia ‘s’ de longitud ‘n’.

Si para un tetrahedro con sus caras coloreadas en cuatro colores diferentes, con su masa perfectamente distribuída (es decir, que no esté “trucado” como lo están los dados “cargados” de los tramposos de las pelis de pizza, digo spaghetti westerns…), de forma que al tirar el tetrahedro la cara coloreada de la base tiene un color que vamos apuntando en una tabla, si no se tira el tetrahedro un número suficiente de veces, aunque probabilísticamente cada color tiene 1/4 (o el 25%) de probabilidad de ocurrencia, en la práctica (dejando al margen trampas, trucos, y chanchullos del mundo real, que extiende el mundo ideal de los laboratorios y los modelos de ordenador), la distribución de los resultados por igual no está uniformemente distribuída si no se repite la tirada un mínimo de veces.

Acerca de María Cristina Alonso Cuervo

I am a teacher of English who started to write this blog in May 2014. In the column on the right I included some useful links and widgets Italian is another section of my blog which I called 'Cornice Italiana'. There are various tags and categories you can pick from. I also paint, compose, and play music, I always liked science, nature, arts, language... and other subjects which you can come across while reading my posts. Best regards.
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