Pulsos de sincronización (III)

Pulsos de sincronización (III)

Publicada el: 25 Abr de 2016 @ 07:27

[Update April 29th 2016]

[Update May 1st 2016]

Post anterior de esta serie.

“Todos los elementos de partida están dentro del conjunto Z, y también todos los elementos de llegada, pero como Z es infinito tanto hacia la derecha como a la izquierda, la función se aplica en determinadas localizaciones dentro de todos los elementos posibles. Estas localizaciones se llaman subconjuntos, y dentro de estos se definen partes de menor cantidad de elementos (cardinalidad: Por ejemplo, los conjuntos A={1,2,3} y B={2,3,4} son distintos, pero ambos tienen cardinalidad 3).

Estas partes de menor cantidad de elementos son en general topologías, y se definen mediante el uso de entornos (ya explicados con aceitunas), intervalos, y otro tipo de divisiones que salen de los diferentes modos de considerar el conjunto, subconjunto, entorno, o intervalo, como por ejemplo, el complementario (que no explicaré ahora, ‘Logic Gates’ series ).

El entorno cerrado y ampliado, de centro cero y radio tres, definido para partida y llegada dentro de los números enteros contiene los elementos:

E(0;3)={-3,-2,-1,0,1,2,3}

El cero no es un número entero [ver NOTA 2], si no se amplía el entorno, no contiene el cero, y el cero en este ejemplo, es el centro del entorno.”

Más correctamente…

E(0;3)={-3,-2,-1}∪{0}∪{1,2,3}~={-3,-2,-1,0,1,2,3} (uniones externas en este caso).

El signo ~= (semejanza) funciona de forma parecida al igual con una tilde encima, ≅, y quiere decir “aproximadamente igual que”.

El “aproximadamente” en este caso, sale de la necesidad de aplicar dos operadores “union” en teoría de conjuntos, que equivalen a dos sumas en aritmética, o dos ‘OR’ en puertas lógicas (que tienen sus implementaciones equivalentes, en circuitos lógicos y analógicos); es decir necesariamente se tiene que añadir el cero (ampliar) entre los otros dos conjuntos, ambos subconjuntos de Z, y ambos de cardinalidad tres.

[Con todo lo cual, en valores absolutos, se pasa de cardinalidad tres, a cardinalidas seis, más cardinalidad uno del elemento cero, externo al conjunto de los números enteros: cardinalidad siete en números reales, NÓTESE: más del doble].

[En efectos físicos… no os lo cuento…].

NOTA 2:

(Voy a hacer uso de intervalos para explicaros esto, recordar, los intervalos no tienen porqué estar localizados alrededor de un centro y no necesariamente son simétricos).

Si consideramos los valores  1 y 3, y queremos saber que distancia hay entre uno y otro (en centímetros, por ejemplo), dibujamos dos líneas, a, y b, paralelas haciendo coincidir el cero con uno de los extremos de cada línea, y a una distancia de 1 centímetro hacemos una perpendicular para indicar que la longitud de la línea a va desde el cero hasta el uno, es decir es a=1-0=1, y en la otra línea hacemos lo mismo a la distancia de 3, es decir, b=3-0=3.

Después le quitamos a la línea más larga, la otra línea: b-a=(3-0)-(1-0)=3-1=2, la diferencia entre una línea y la otra son 2 centímetros.

También lo podemos pensar de esta otra forma que no es totalmente equivalente en todas las transformaciones posibles del espacio (en este caso puntos equidistantes sobre la recta Real entera, la cuerda con los nudos), porque voy a asignarle a cada punto (nudo) justamente lo que no es un punto (nudo):

Si al 1 y el 3 le asignamos la distancia al cero: a=]0;1], y b=]0;3] (estos intervalos son abiertos por la izquierda)

Y a la distancia entre uno y otro: distancia=d=b-a=[3-1]~=]0;2] (Fijaros que el “1” se quita, por eso el cero tampoco está en el intervalo distancia).

Si ahora hacemos algo parecido para esos valores con un signo menos delante, y lo queremos dibujar, podemos “girar” (como se gira una página en un libro) el dibujo anterior tomando como eje de rotación la línea que habíamos hecho para uno de los extremos de cada una de esas dos líneas, sobre el punto (nudo, posición) donde está el cero (es una de las infinitas formas de calcularlo).

[Os pego este fragmento mientras voy dibujando: {-3,-2,-1,0,1,2,3}, si tacháis el cero, las distancias al -1 y al 1 son iguales]

Al hacer esta operación, el cero queda también fuera de los intervalos.

Voy a ir haciendo un dibujo para que lo veáis mejor, publico y actualizo después para subir el dibujo (lo que sigue es un extracto de la es.wikipedia del post anterior de esta serie).

(Por cierto, si en las búsquedas de Google, Bing, Yahoo… añadís en.wikipedia os saldrá más arriba en el resultado).

numbers

numbers

(Mañana más… bueno… igual otro día… pondré la fecha para seguir con la nueva convención de actualizaciones de mi blog).

Update April 29th 2016

En la imagen de arriba se ve cómo al coger un centro, el cero en este caso, y considerar distancias iguales hasta los extremos, contando los “nudos de la cuerda”, o los puntos de la línea recta que los une todos, siempre hay más nudos, o puntos, que distancias entre ellos: arriba van de menos tres hasta más tres, son siete posiciones, o puntos separados a distancias iguales, en cambio, sólo hay seis distancias entre ellos.

Teniendo en cuenta que estoy considerando sólo los números enteros, Z  (y el subconjunto de los enteros positivos, es decir mayores que cero: +n>0, de los números naturales, N).

“Los números enteros negativos son más pequeños que todos los positivos y que el cero. Para entender como están ordenados se utiliza la recta numérica:

Integers-line.svg

es.wikipedia”

Entre posición y posición hay números racionales, o fraccionarios, denotado Q, pero los racionales no son todas las distancias intermedias entre punto y punto, porque entre estos hay otros números, los números Irracionales. Pero esto lo seguiré explicando después de daros unas definiciones más amigables para los tipos de entornos definidos debajo, que iré explicando uno por uno a continuación.

Clases de entorno[s]

Entorno reducido: un entorno V de un punto a es un entorno reducido si el propio punto a no pertenece al mismo. Es decir, está compuesto solamente por los puntos cercanos a a   [Ver nota 1, debajo de todas las explicaciones].

Por ejemplo, las tolerancias de fabricación. Cuando se fabrica un objeto, se consideran varios aspectos de diseño y funcionamiento. Independientemente de cuál sea el objeto, o de si se hace a mano, artesanalmente, o en un tren de montaje industrial, las medidas, largo, ancho, fondo, aunque os parezca que sí, nunca se cumplen exactamente (y si se cumplen alguna vez es de casualidad). Esto se debe a diferencias del orden de pequeñas fracciones de milímetros, por ejemplo.

Debido a este hecho, si se quiere fabricar un perno que entre en un hueco, se calculan las tolerancias compatibles entre el hueco y el perno, porque si el perno es (aunque sólo sea una décima de milímetro), más ancho que el hueco, habría que mecanizar otra vez la pieza, o desecharla. Entonces las medidas de fabricación para hueco y perno se llaman tolerancias, y son los márgenes de error que perno y hueco pueden tener, de forma que se asegure que encajan, y que además sirven para el fin que deben cumplir.

Podemos decir entonces que para un perno y un hueco de diámetro 20 milímetros, los intervalos de tolerancias admisibles tienen en un extremo los 20 milímetros, y de radio 20 micras, queriendo esto decir que ni perno, ni hueco tendrán nunca 20 milímetros exactamente de diámetro. El entorno reducido en que están  los intervalos deben quedar para el perno a la izquierda, y a la derecha para el hueco.

Siendo entonces, el perno [-20 micras+20 milímetros; 20 milímetros), y el hueco (20 milímetros; 20 milímetros+20 micras], el entorno reducido de centro 20 milímetros y radio 20 micras es la union de estos intervalos, y en esa unión, el centro, el valor 20 milímetros nunca pertenece al entorno (el extremo delimitado por un paréntesis no está contenido y el delimitado por un corchete sí).

Entornos abiertos: un entorno V de un punto a es entorno abierto de a si V es un conjunto abierto (es decir, V \in T).

(El “es decir, V pertenece a T” del artículo, se refiere al elemento V, del conjunto de partes de la topología considerada , siendo V un subconjunto de la topología T, considerado como un elemento de los posibles subconjuntos de la mísma… el enlace no lo dice… pero ya os lo cuento yo, y si no lo creéis… allá vosotros hermosos y hermosas… buscarlo…).

Un entorno abierto simplemente es un subconjunto donde los extremos: centro-radio, y centro+radio, no están contenidos en el entorno. De esto ya os puse el ejemplo del entorno aceitunero del precio de las aceitunas de centro dos y radio cincuenta céntimos.

Entornos cerrados: un entorno V de un punto a es entorno cerrado de a si V es un conjunto cerrado.

Entorno cerrado, lo mismo pero sí contiene los extremos.

Entorno compacto: un entorno V de un punto a es entorno compacto de a si V es un conjunto compacto.

Un entorno compacto está relacionado con la definición de límite. Un conjunto es compacto si converge en un punto, o en un conjunto de puntos considerados como pertenecientes al espacio topológico considerado.

  • ?
  • … (Por eso precisamente pongo mis ejemplos aceituneros… porque se entienden mucho mejor…).

En topología, un espacio compacto es un espacio que tiene propiedades similares a un conjunto finito, en cuanto a que las sucesiones contenidas en un conjunto finito siempre contienen una subsucesión convergente. La propiedad de compacidad es una versión más fuerte de esta propiedad.

Un conjunto compacto es un subconjunto de un espacio topológico, que como subespacio topológico (con la topología inducida) es en sí mismo un espacio topológico compacto.

La compacidad de un espacio admite varias formulaciones alternativas:

Las siguientes afirmaciones sobre un espacio topológico X son equivalentes entre sí:

X es compacto.

Si {Fi}iI es una familia de subconjuntos cerrados en X con la propiedad de la intersección finita, entonces ∩IFi ≠ ∅.

Toda red en X admite una subred convergente.

La función al punto X\to\ast es propia.

Una sucesión de funciones es convergente si tiene límite, el límite puede ser cualquier punto, cuando se habla de entornos, se habla de más de un punto, el centro, no tiene porque ser el límite, pero se puede definir un rango, intervalo, o entorno donde el límite esté dentro de unos valores considerados. Si se habla de entornos, estos van recubriendo el punto (o subconjunto de puntos) de convergencia, y entonces los entornos son compactos.

Entorno conexo: un entorno V de un punto a es entorno conexo de a si V es un conjunto conexo

El entorno V de centro a, es conexo, si las partes de topología que lo forman no tienen intersecciones vacías. Es decir, siempre hay puntos en el entorno V formado por la unión de las partes que contienen AL MENOS un elemento.

Entorno conexo por caminos: un entorno V de un punto a es entorno conexo por caminos de a si V es un conjunto conexo por caminos.

Sea (X,\mathcal{T}) un espacio topológico. Una curva en X es una aplicación continuaf:[0,1] \longrightarrow X . (En realidad, puede ser cualquier intervalo [a,b], pero siempre se puede normalizar y llevar a [0,1]).

Se dice que (X,\mathcal{T}) es un espacio conexo por caminos si y solamente si: \forall x,y \in X, \exists f:[0,1] \longrightarrow X continua (i.e., una curva) tal que f(0)=x,\, f(1)=y.

Es decir, en términos intuitivos, si cada par de puntos pueden ser unidos mediante una curva, o, dicho de otro modo, “conectados por un camino” (y de ahí el nombre).

Para C \subset X , la definición de conexidad por caminos es la misma que antes, sólo que ahora pidiendo que cada par de puntos en C puedan ser conectados por una curva continua contenida en C . Esta definición es equivalente a pedir que C, dotado de la topología traza, sea un espacio conexo por caminos.

Dicho de otra forma, el entorno es conexo por caminos, si al aplicar la función a (yo los voy a llamar p1 y p2) los puntos p1, y p2, la función es CONTÍNUA entre p1, y p2, y las imágenes f(p1), y f(p2) se pueden unir mediante la curva resultante al aplicar la función en todo el intervalo entre p1, y p2, que en el caso de los entornos tiene centro en a y sus extremos en a-p1, a+p2.

Entorno simplemente conexo: un entorno V de un punto a es entorno simplemente conexo de a si V es un conjunto simplemente conexo.

Leeros el enlace, está suficientemente claro.

Entorno convexo: un entorno V de un punto a en un espacio vectorial topológicoX es entorno convexo de a si V es un conjunto convexo.

Un entorno es convexo si sus elementos están dentro del entorno. Se habla de envoltura convexa de conjuntos de valores refiriendose a los que serían epsilon-bolas de centro a, y radio epsilon, en el caso de topologías esféricas. Cuando las topologías tienen otras formas, se consideran convexas si las imágenes están todas dentro del “envoltorio”.

(Tener en cuenta que la topología es una forma de definir porciones de manera conveniente, y muchas de esas porciones son conjuntos-resultado de las funciones (recetas)).

fabadiano

fabadiano

NOTA 1: Entorno ampliado (es un concepto desaparecido de los tipos de entornos del enlace de la es.wikipedia respecto al concepto matemático de “entorno”. Es lo contrario del entorno reducido, que si viene explicado más arriba.

Seguiré desde aquí en la siguiente actualización.

Véase también

Tipos de conjuntos numéricos

Tipos de conjuntos numéricos

“Aunque el cero aparece en este esquema de la es.wikipedia incluído en los números enteros, Z, en realidad no es así:
Los naturales salen de contar cosas.
Los enteros salen de contar cosas y contar cosas que faltan.
El cero no es ni una cosa, ni la otra.
Un intervalo en cambio, no está dispuesto simétricamente, aunque se pueda calcular un punto medio (lo que no siempre se puede dependiendo del conjunto considerado).
Por ejemplo, el intervalo I=[-9; -4]={-9,-8,-7,-6,-5,-4}, no es simétrico respecto a ninguno de esos elementos, y no tiene centro en Z.
Tanto entornos como intervalos pueden incluír o no los valores de los extremos, pudiendo ser cerrados, [extremo izda;extremo dcha], abiertos (extremo izda;extremo dcha), semiabiertos por la izquierda (extremo izda;extremo dcha], semiabiertos por la derecha [extremo izda;extremo dcha). Estos dos últimos tipos se pueden llamar también semicerrado por la derecha, y semicerrado por la izquierda respectivamente.
Los extremos abiertos no están dentro del intervalo, los extremos cerrados sí están dentro del intervalo.
Y seguiré actualizando para poner ejemplos sencillos (y no-aceituneros) de esos tipos de entornos, y explicar cota inf, sup, max, min, supremo e ínfimo en otro momento.”

Update May 1st 2016

Hasta aquí, he explicado los Naturales, los Enteros, y los Racionales. Dentro de los Racionales hay varios tipos. Iré comentando el extracto de debajo, de la es.wikipedia, y os iré haciendo notar cosas implícitas que no están explícitamente explicadas.

Tipos de fracciones

Fracción simple, común o vulgar

Una fracción simple (también conocida como fracción común o fracción vulgar es un número racional

(~= un número que expresa cantidades que son porciones de unidades enteras)

de la forma a/b, donde a y b son números enteros y b≠0.

Puesto que una fracción común representa un número racional, las fracciones comunes heredan todas las propiedades matemáticas de los racionales.

Ejemplo (distintas notaciones)   \tfrac{3}{4} ;     3/4        ;     3/4            ;     (¾);

fracción tres cuartos: numerador 3 y denominador 4, representa al número decimal 0.75 [nota 1],

[Nota 1] Un número decimal, está sistematizado de forma que cada dígito equivale a una posición que a su vez, equivale a un valor. Como el sistema de base decimal es el que utilizamos casi para todo (el reloj no, el reloj cuenta de otra forma), lo usamos sin saber cómo se llegó a implantarlo.

En realidad, es una especie de quiniela, sólo que en lugar de 1, x, 2, que son los tres valores posibles, indicando cada uno una situación en el desenlace de un partido, lo que indica cada dígito en un número de base decimal es el valor por el que hay que multiplicar la cantidad fija asignada a cada posición a un lado y otro del separador decimal (la coma en español, y el punto en inglés).

Así sabemos que el dígito 2, en el lugar de las centenas, es doscientos: Centena 2, decena 0, unidad 0. Para indicar un valor numérico de 200.

Como las fracciones son partes de números enteros (partes de euro), si tenemos un número con dígitos detras del separador decimal, la coma (or the dot in English), eso indica porción de la unidad. tres cuartos, al efectuar la división, da un valor decimal de 0,75.

(0.75 in English).

Si tenemos dígitos a la izquierda del separador decimal, esas son las cantidades enteras, por ejemplo, 20 euros y 40 céntimos: 20,40 céntimos.

en porcentaje: 75% [nota 2].

[Nota 2]

Para los porcentajes se considera la cantidad total como el 100%, el cien por cien.

En este caso se está refiriendo a números puros, matemáticas, sin referirlas a cantidades de otras cosas, es decir tomando el número uno, de las unidades como patrón, y tres cuartos de uno, que sería la cantidad total en este caso, es en porcentaje es el 75 por ciento.

Fracción propia e impropia

Las fracciones comunes pueden clasificarse en propias e impropias. Una fracción propia es aquella en la que, si numerador y denominador son positivos, el numerador es menor que el denominador, por ejemplo \tfrac{1}{3}, \; \tfrac{3}{8}, \; \tfrac{3}{4}.

Es decir, el cociente resultado de efectuar la división es menor que la unidad, en decimales hay un cero a la izquierda de la coma.

Por el contrario, una fracción impropia (lo explico después) será la fracción en donde el numerador es mayor que el denominador, por ejemplo \tfrac{13}{6}, \; \tfrac{18}{8}, \; \tfrac{5}{2}.

En general, una fracción común es una fracción propia si el valor absoluto es estrictamente menor que uno, es decir, si la fracción es mayor que −1 y menor que 1 .

Lo que os decía antes, pero para cosas que faltan, por ejemplo, un cuarto de pizza es en números fraccionarios 1/4. Pero si nos encontramos con que al abrir el horno sólo hay tres cuartos de pizza, eso quiere decir que Inautista se ha pasado por casa cuando no estábamos, ha abierto el horno y se ha dicho:

  • ¡Una pizza ai quattro fromagi! Adesso che nessuno sta guardandomi, mi mangio un quarto.

Con lo cual tenemos menos un cuarto de pizza (sfumato misterosamente…), y la cantidad que nos falta en negativo es -0,25, que es diferente (y menor, sin el signo menos) de -1, que sería el caso si Inautista se hubiese pasado por casa con Moncho, el de las alfombras jorobadas, y un par de amigos más para “levantarse” la pizza a razón de un cuarto por barba.

Número mixto

Un número mixto es la representación de una fracción impropia, en forma de número entero y fracción propia; es una manera práctica de escribir unidades de medida (peso, tiempo, capacidad), recetas de cocina, etc.4

Toda fracción impropia \tfrac{p}{q} puede escribirse como número mixto: A\tfrac{a}{b}, en donde A\tfrac{a}{b} denota A+\tfrac{a}{b} (donde A\in \mathbb{Z},~A\geq 0, es la parte entera). Como ejemplos:

\frac{30}{20}=\frac{3}{2}=1\frac{1}{2} «Una cucharadita y media de…»
15.70/12.561 \approx 5/4=1\frac{1}{4} «En una hora y cuarto…»

A partir de un cierto nivel de álgebra elemental, la notación mixta suele sustituirse por fracciones impropias, que son más operacionales.

La fracción impropia, es la que da un decimal con dígitos a la izquierda de la coma (da igual si están o faltan), es decir, no hay un cero coma algo, o menos cero coma algo, sino que hay un algo coma algo, o un menos algo coma algo, o lo que es lo mismo, la fracción impropia se puede expresar como una suma de unidades enteras, más la parte fraccionaria decimal, llamándose entonces número mixto.

Un número mixto es el resultado de descomponer una fracción impropia en las unidades enteras equivalentes, más la porción de la unidad. Por ejemplo, tres, un quinto, 3+(1/5).

No se escribe así, se escribe como un tres delante de una raya de quebrado horizontal, un uno arriba (en el numerador), y un cinco debajo (en el denominador).

ejemplos:

\frac{30}{20}=\frac{3}{2}=1\frac{1}{2} «Una cucharadita y media de…»
15.70/12.561 \approx 5/4=1\frac{1}{4} «En una hora y cuarto…»
No son 1 por 1/2, ni 1 por 1/4, son 1+(1/2), y 1+(1/4), y son dos números mixtos equivalentes a las fracciones impropias 3/2       (=1,5)       ,  y      5/4      (=1,25)

Sigo en el siguiente post de la serie.

Acerca de María Cristina Alonso Cuervo

I am a teacher of English who started to write this blog in May 2014. In the column on the right I included some useful links and widgets Italian is another section of my blog which I called 'Cornice Italiana'. There are various tags and categories you can pick from. I also paint, compose, and play music, I always liked science, nature, arts, language... and other subjects which you can come across while reading my posts. Best regards.
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