Pulsos de sincronización (II)

Pulsos de sincronización (II)

Post anterior de esta serie.

De forma muy sencilla, si a una cuerda le vais haciendo nudos a espacios iguales, cada nudo es un número entero. Cogéis cualquiera de esos nudos y le asociáis el valor cero. A la derecha quedan los nudos positivos. Matemáticamente, esos nudos se llaman números Naturales, y se denotan N.

No hay acuerdo en si el cero es un número Natural o no, y no lo hay por lo siguiente:

Si cogéis los nudos a la izquierda, esos son los nudos negativos. Matemáticamente son números Enteros negativos (los números Naturales también son números Enteros, pero sólo los positivos). Los números Enteros se denotan Z, y serían todos los nudos a espacios iguales hechos en una cuerda sin principio ni fin.

No hay números positivos y negativos al mismo tiempo. Si se incluyese el cero para la derecha, habría que incluirlo también para la izquierda. Por eso el número cero tiene un tratamiento especial en matemáticas.

Esto mismo, en cuanto a poner un origen desde el que contar hacia la derecha o hacia la izquierda es lo que se hace con los entornos.

Entorno aceitunero

Entorno aceitunero

Un intervalo en cambio no (necesariamente) está simétricamente definido. Esto quiere decir, que si cogemos una cantidad de elementos de un conjunto y extraemos un intervalo, damos sólo los valores de los extremos al intervalo, y no tienen porqué estar a distancias iguales de un centro.

Si consideramos el valor de una función en un punto, por ejemplo, f(7), dependiendo de qué es lo que hace la función (receta) f, después aplicarle a 7 proceso definido por f, obtenemos la imagen f(7).

Siempre que se define una función hay que definir también los conjuntos de partida y llegada (input, output), porque estos conjuntos dependen del proceso en sí. Muchas veces uno, otro, o los dos conjuntos sólo se “saben” por aproximación.

Supongamos una función f, definida desde un subconjunto de números enteros, hacia un subconjunto de números enteros. En matemáticas se denota:

f: Z ——-> Z

Todos los elementos de partida están dentro del conjunto Z, y también todos los elementos de llegada, pero como Z es infinito tanto hacia la derecha como a la izquierda, la función se aplica en determinadas localizaciones dentro de todos los elementos posibles. Estas localizaciones se llaman subconjuntos, y dentro de estos se definen partes de menor cantidad de elementos (cardinalidad: Por ejemplo, los conjuntos A={1,2,3} y B={2,3,4} son distintos, pero ambos tienen cardinalidad 3).

Estas partes de menor cantidad de elementos son en general topologías,

en.wikipedia excerpt on Topology

In mathematics, topology (from the Greek τόπος, place, and λόγος, study) is concerned with the properties of space that are preserved under continuous deformations, such as stretching and bending, but not tearing or gluing. This can be studied by considering a collection of subsets, called open sets, that satisfy certain properties, turning the given set into what is known as a topological space. Important topological properties include connectedness and compactness.[1]

Topology developed as a field of study out of geometry and set theory, through analysis of such concepts as space, dimension, and transformation.[2] Such ideas go back to Gottfried Leibniz, who in the 17th century envisioned the geometria situs (Greek-Latin for “geometry of place”) and analysis situs (Greek-Latin for “picking apart of place”). Leonhard Euler‘s Seven Bridges of Königsberg Problem and Polyhedron Formula are arguably the field’s first theorems. The term topology was introduced by Johann Benedict Listing in the 19th century, although it was not until the first decades of the 20th century that the idea of a topological space was developed. By the middle of the 20th century, topology had become a major branch of mathematics.

Topology has many subfields:

es.wikipedia extracto de Topología

La topología (del griego τόπος, ‘lugar’, y λόγος, ‘estudio’) es la rama de las matemáticas dedicada al estudio de aquellas propiedades de los cuerpos geométricos que permanecen inalteradas por transformaciones continuas.1 Es una disciplina que estudia las propiedades de los espacios topológicos y las funciones continuas. La topología se interesa por conceptos como proximidad, número de agujeros, el tipo de consistencia (o textura) que presenta un objeto, comparar objetos y clasificar múltiples atributos donde destacan conectividad, compacidad, metricidad o metrizabilidad, entre otros.

Los matemáticos usan la palabra topología con dos sentidos: informalmente es el sentido arriba especificado, y de manera formal es la referencia a una cierta familia de subconjuntos de un conjunto dado, familia que cumple unas reglas sobre la unión y la intersección —este segundo sentido puede verse desarrollado en el artículo espacio topológico—.

(En la definición española sólo se están refiriendo a la parte geométrica del término…).

… y se definen mediante el uso de entornos (ya explicados con aceitunas), intervalos, y otro tipo de divisiones que salen de los diferentes modos de considerar el conjunto, subconjunto, entorno, o intervalo, como por ejemplo, el complementario (que no explicaré ahora, ‘Logic Gates’ series ).

El entorno cerrado y ampliado, de centro cero y radio tres, definido para partida y llegada dentro de los números enteros contiene los elementos E(0 , 3)={-3,-2,-1,0,1,2,3}

El cero no es un número entero, si no se amplía el entorno, no contiene el cero, y el cero en este ejemplo, es el centro del entorno.

Clases de entorno

  • Entorno reducido: un entorno V de un punto a es un entorno reducido si el propio punto a no pertenece al mismo. Es decir, está compuesto solamente por los puntos cercanos a a [Ver nota 1]

  • Entornos abiertos: un entorno V de un punto a es entorno abierto de a si V es un conjunto abierto (es decir, V \in T).

  • Entornos cerrados: un entorno V de un punto a es entorno cerrado de a si V es un conjunto cerrado.

  • Entorno compacto: un entorno V de un punto a es entorno compacto de a si V es un conjunto compacto.

  • Entorno conexo: un entorno V de un punto a es entorno conexo de a si V es un conjunto conexo

  • Entorno conexo por caminos: un entorno V de un punto a es entorno conexo por caminos de a si V es un conjunto conexo por caminos.

  • Entorno simplemente conexo: un entorno V de un punto a es entorno simplemente conexo de a si V es un conjunto simplemente conexo.

  • Entorno convexo: un entorno V de un punto a en un espacio vectorial topológico X es entorno convexo de a si V es un conjunto convexo.

NOTA 1: Entorno ampliado (es un concepto misterio(u)samente desaparecido de los tipos de entornos del enlace de la es.wikipedia respecto al concepto matemático de “entorno”. Sin embargo, recuerdo perfectamente las clases de Ciencias y Matemáticas de E.G.B. y cómo se explicaba entonces la necesidad de ampliar el conjunto de los números Naturales, para que éstos incluyesen el número cero, por lo que os he explicado en el otro post), es lo contrario del entorno reducido, que si viene explicado más arriba .

Véase también

Tipos de conjuntos numéricos

Tipos de conjuntos numéricos

Aunque el cero aparece en este esquema de la es.wikipedia incluído en los números enteros, Z, en realidad no es así:

Los naturales salen de contar cosas.

Los enteros salen de contar cosas y contar cosas que faltan.

El cero no es ni una cosa, ni la otra.

Un intervalo en cambio, no está dispuesto simétricamente, aunque se pueda calcular un punto medio (lo que no siempre se puede dependiendo del conjunto considerado).

Por ejemplo, el intervalo I=[-9; -4]={-9,-8,-7,-6,-5,-4}, no es simétrico respecto a ninguno de esos elementos, y no tiene centro en Z.

Tanto entornos como intervalos pueden incluír o no los valores de los extremos, pudiendo ser cerrados, [extremo izda;extremo dcha], abiertos (extremo izda;extremo dcha), semiabiertos por la izquierda (extremo izda;extremo dcha], semiabiertos por la derecha [extremo izda;extremo dcha). Estos dos últimos tipos se pueden llamar también semicerrado por la derecha, y semicerrado por la izquierda respectivamente.

Los extremos abiertos no están dentro del intervalo, los extremos cerrados sí están dentro del intervalo.

Y seguiré actualizando para poner ejemplos sencillos (y no-aceituneros) de esos tipos de entornos, y explicar cota inf, sup, max, min, supremo e ínfimo en otro momento.

Acerca de María Cristina Alonso Cuervo

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