Desplazamiento en el tiempo (‘Time Shift’) [XI]

Desplazamiento en el tiempo (‘Time Shift’) [XI]

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Efecto Faraday

Giro del plano de Polarización debido al Efecto Faraday

Para poder determinar el grado de giro del plano de polarización en los diferentes materiales, se emplea la siguiente fórmula:

 \beta = \mathcal{V}Bd

Beta, ángulo de giro, nu constante de Verdet (no confundir con frecuencia, que también se escribe nu), B campo magnético en teslas, d, distancia recorrida en la dirección de propagación (aceitunero repeinada…).

En Astrofísica…

Si se considera que un rayo de luz pasa a través de un medio interestelar en el que existe una cierta cantidad de electrones libres, se puede observar cómo existe un índice de refracción que consiste en hacer que la luz se propague en dos modos polarizados circularmente. El efecto Faraday en las nubes interestelares, al contrario de lo que pasa en los líquidos y sólidos, tiene una simple dependencia con la longitud de onda de la luz (λ), de esta forma: \beta = \mathrm{RM} \lambda^2 \,

Donde el efecto global de esta perturbación, caracterizado por MR, Medida de la Rotación, indica el giro del plano de polarización en función de B y de la densidad de electrones, ne; ambos pueden variar a lo largo de la trayectoria lumínica, de esta forma se tiene que:

\mathrm{MR} = \frac{e^3}{2\pi m^2c^4}\int_0^d n_e B \;\mathrm{d}s

donde:

es.wikipedia

A lo largo de la historia se han ido dando diferentes valores para la velocidad de la luz en el vacío, c. Leeros el enlace, y leeros el enlace en inglés speed of light, hay información adicional e imágenes más claras.

La cosa es… que como en estas fórmulas la velocidad de la luz aparece en el denominador, el resultado del cociente es mayor al disminuír c. Y esto hace que un valor mayor de MR, que es el resultado de integrar a lo largo de toda la distancia considerada, el producto (vectorial) de la densidad electrónica, J, que aquí llaman n sub-e, por el vector director de campo magnético B sea atribuíble al valor del (k) escalar que resulta de reducir la velocidad de la luz en el vacío, c.

La constante de Verdet .

El valor de la constante de Verdet, en realidad viene tabulado porque depende del tipo de material. Mide cómo se comporta el material respecto al efecto Faraday, y depende también de la longitud de la onda electromagnética. Su unidad son en el Sistema Internacional radianes (un radian [1] es la porción de ángulo abarcado por un arco igual al radio) en cada Tesla y metro lineal,  rad m-1 T-1

[1] https://www.youtube.com/watch?v=ZhPaf8MFSZo

radián

radián

\alpha = d \, V \, B

Donde B es la densidad de flujo magnético en el material, paralelo a la dirección de propagación de la onda electromagnética (hay otras formulaciones para la densidad de flujo magnético, que van en función de la densidad de carga eléctrica, J). más abajo incluyo una tabla del artículo de en.wikipedia sobre las ecuaciones de Maxwell (serie que dejé interrumpida por la complejidad de explicación). Como mi cuenta de usuario de WordPress es básica, no puedo customizar el CSS. Así que para que aparezca más abajo si superponerse a la columna de widgets, voy a comentar algo que no he comentado todavía, para rellenar el espacio con un texto.

No sé si os dais cuenta o no, seguramente muchos pensáis que si lo que hay es un desplazamiento en la traslación, con mantener ese desplazamiento fijo, no hace falta hacer más cálculos. Si pensáis así os equivocáis. No es tan sencillo como decir que si estamos ahora en julio por los efectos (ahora estamos en abril), entonces en julio estaremos en octubre. Es más complicado.

Os lo explicaré con una carrera de aceitunas rellenas. Estas van en un circuíto de moto gp. Supongamos que las aceitunas rellenas de la carrera, en lugar de competir, van desfilando una tras otra en motos a la misma velocidad.

De pronto una de las aceitunas rellenas estornuda. Al estornudar le da al acelerador de la moto sin querer. La moto empieza a hacer extraños en el circuito, con tan mala suerte que el mando del acelerador se desajusta y va acelerando decelerando descontroladamente mientras la aceituna rellena que va encima empieza a ponerse de los nervios porque ve que el tortazo es inminente.

belarussian olives parade

Belarussian olives parade

En estas condiciones, es difícil determinar la velocidad que lleva la aceituna rellena en cada tramo, porque el problema es que está acelerando y desacelerando, con lo que la velocidad no es constante, y por lo tanto no es tan sencillo como decir que si en un acelerón se ha adelantado dos kilómetros en la posición que tendría que tener en el circuito, ese desplazamiento seguirá constante hasta la finalización del desfile aceitunero.

Pues eso es lo que está pasando en este caso, que la velocidad de traslación ha variado, es diferente de la que era, y además el eje de rotación cabecea, por eso las plantas están enloquecidas, y florecen a destiempo (pese a los esfuerzos de los equipos de montes, y jardines, para que no sea demasiado ostentoso, al ver la gente por ejemplo, que los castaños (es un suponer, no lo he visto) ya están florecidos, y entonces en lugar de en noviembre, las castañas estarán para recoger en julio).

Y aquí viene la tabla que os decía antes, con distintas fórmulas para el cálculo del campo magnético. Iré comentando… mejor no, porque si no no termino. Esto ya lo comentaré en la serie de Maxwell.

Formulation in SI units

Name Integral equations Differential equations Meaning
Gauss’s law \oiint{\scriptstyle\partial \Omega } \mathbf{E}\cdot\mathrm{d}\mathbf{S} = \frac{1}{\varepsilon_0} \iiint_\Omega \rho \,\mathrm{d}V \nabla \cdot \mathbf{E} = \frac {\rho} {\varepsilon_0} The electric field leaving a volume is proportional to the charge inside.
Gauss’s law for magnetism \oiint{\scriptstyle \partial \Omega } \mathbf{B}\cdot\mathrm{d}\mathbf{S} = 0 \nabla \cdot \mathbf{B} = 0 There are no magnetic monopoles; the total magnetic flux piercing a closed surface is zero.
Maxwell–Faraday equation (Faraday’s law of induction) \oint_{\partial \Sigma} \mathbf{E} \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{\ell} = - \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \iint_{\Sigma} \mathbf{B} \cdot \mathrm{d}\mathbf{S} \nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}} {\partial t} The voltage accumulated around a closed circuit is proportional to the time rate of change of the magnetic flux it encloses.
Ampère’s circuital law (with Maxwell’s addition) \oint_{\partial \Sigma} \mathbf{B} \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{\ell} = \mu_0 \iint_{\Sigma} \mathbf{J} \cdot \mathrm{d}\mathbf{S} + \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \iint_{\Sigma} \mathbf{E} \cdot \mathrm{d}\mathbf{S} \nabla \times \mathbf{B} = \mu_0\left(\mathbf{J} + \varepsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}} {\partial t} \right) Electric currents and changes in electric fields are proportional to the magnetic field circulating about the area they pierce.

Sólo os diré que la J que aparece la fórmula inmediatamente encima de esta línea, la de la ley de Ampere para el cálculo de intensidad de corriente en una línea cerrada (con la adición de Maxwell), es la densidad electrónica, es decir, la carga eléctrica en cada unidad de volumen:

“Electric currents and changes in electric fields are proportional to the magnetic field circulating about the area they pierce”.

“Las corrientes eléctricas y los cambios en campos eléctricos son proporcionales al campo magnético que circula alrededor del area que atraviesan.”

\oint_{\partial \Sigma} \mathbf{B} \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{\ell} = \mu_0 \iint_{\Sigma} \mathbf{J} \cdot \mathrm{d}\mathbf{S} + \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \iint_{\Sigma} \mathbf{E} \cdot \mathrm{d}\mathbf{S}

La integral con la circunferencia encima quiere decir que es calculada a lo largo de una línea cerrada (un circuito). A la izquierda  del signo igual se ve la derivada parcial del sumatorio que aparece abajo, quiere decir que sólo se está sumando el resultado del producto del vector director de campo magnético B, por los desplazamientos (diferencias de posición en el circuito) a lo largo de la línea calculada dl, y sólo en esa dirección.

A la derecha del signo igual, mu sub-cero es la permeabilidad magnética en el vacío, y está multiplicando por la doble integral, que es de superficie (no necesariamente plana, esférica, o de cualquier otro contorno), del sumatorio de la densidad electrónica, J, un vector, por los desplazamientos del vector superficie, dS (posicion tridimensional en el circuito), siendo ese producto considerado como un producto punto (dot product), en lugar de un producto vectorial (cross product), con lo cual en el resultado sólo se considera el módulo, y no la dirección ni el sentido de ese producto (salvo que después se oriente según los vectores base del sistema analizado, cosa que en la fórmula no aparece).

A esa parte de la expresión a la derecha del signo igual hay que sumarle la adición de Maxwell (ecuación 6 en este enlace: http://www.physicspages.com/2013/10/17/maxwells-correction-to-amperes-law/), a la derecha del signo de la suma.

\oint_{\partial \Sigma} \mathbf{B} \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{\ell} = \mu_0 \iint_{\Sigma} \mathbf{J} \cdot \mathrm{d}\mathbf{S} + \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \iint_{\Sigma} \mathbf{E} \cdot \mathrm{d}\mathbf{S}

mu sub-cero, permeabilidad, por épsilon sub-cero permitivitad (ambas en el vacío), por la derivada de la integral doble del vector de campo eléctrico, E, otra vez escalarmente multiplicado por los desplazamientos del vector superficie dS.

No lo creeréis (¡incrédulos e incrédulas…!), pero hay discrepancias en la interpretación de estas fórmulas, no todo el mundo las interpreta igual, pero al menos, algo sí que está claro: así se sabe la cantidad (que interesa calcular para el proceso a implementar), pero no su dirección y sentido, pudiendo estos caer en cualquier octante del espacio tridimensional y estar dirigidos hacia el centro de una esfera, o hacia afuera.

Es muy parecido a lo que ocurre con el valor absoluto, o con los referimientos de razones trigonométricas por reducción al primer cuadrante, de los otros tres, y al final, en lugar de sistemas de vectores con sus resultantes correctamente dispuestas en el espacio tridimensional, se tienen cantidades, que no se sabe de dónde salen, ni adónde van…

(Seguramente Inautista estaría encantado con esto… 🙂 ).

En cuanto a esta última expresión en esa fila de la tabla de las ecuaciones de Maxwell, Esa delta mayúscula apuntando hacia abajo es lo que Newton denotaba f”, es decir, la segunda derivada.

La derivada de la curva de una función (<- NÓTESE que he escrito: “función”), en un punto, es el valor de la pendiente de la recta tangente a la curva de la función en ese punto.

Con esto geométricamente (y en el espacio físico tridimensional), se tiene que al derivar dos veces en ese punto se obtiene el resultado de otro vector ortonormal al de la primera derivada, multiplicado vectorialmente (cross product) por el vector de campo magnético, B, que es otro vector, y ese vector tiene de módulo la parte que aparece a la derecha del signo igual: mu sub-cero, multiplicado por el vector suma de la densidad electrónica, J, más la permitividad multiplicada por la derivada parcial en la dirección del vector de campo eléctrico, E, variable en cada desplazamiento en el tiempo.

\nabla \times \mathbf{B} = \mu_0\left(\mathbf{J} + \varepsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}} {\partial t} \right)

Y ya que me puse… comentaré sólo otra cosa más, que en alguna ocasión he discutido amigablemente con la concurrencia…

“There are no magnetic monopoles; the total magnetic flux piercing a closed surface is zero.”

“No hay monopolos magnéticos (~= no hay “cargas norte” y “cargas sur”, como en el caso de las cargas eléctricas positiva y negativa); el flujo neto a través de una superficie cerrada es cero”.

\oiint{\scriptstyle \partial \Omega }\mathbf{B}\cdot\mathrm{d}\mathbf{S} = 0                   \nabla \cdot \mathbf{B} = 0

Sólo haré una breve introducción al respecto, porque es largo de comentar. Aunque matemáticamente y considerando las convenciones al respecto esto es así (ya que por definición la doble derivada es ortonormal en cada punto, y por lo tanto su proyección en el eje donde se mide el coseno es cero), físicamente no es del todo cierto; sería parecido a decir que un circuito de carreras de moto gp no tiene dimensión porque en lugar de calcular la longitud del circuito, estamos calculando la altura de la superficie sobre el plano tangente a la superficie de la carretera en cada punto: aunque la altura no está, el circuito sí que tiene dimensión. Y además, las partículas subatómicas sí que tienen monopolos, sólo que no lo llaman así, lo llaman espín: sentido de giro. Y de momento ahí lo dejo.

De lo que sigue hacia el final del post hay cosas que comentaré en otro momento, dejo el texto de wikipedia, pero lo recortaré en actualizaciones sucesivas. Lo más destacable son las estructuras tetraédricas (a veces octaédricas, como la del azufre) de los granates, que son las que tienen las variedades de diamante, que es como cristaliza el carbono de manera natural.

El valor de la constante de Verdet se puede calcular a partir de la dispersión  \frac{\mathrm dn}{\mathrm d \lambda} del material considerado

V(\lambda) = \frac{e}{m_e} \, \frac{\lambda}{2 c} \, \frac{\mathrm dn}{\mathrm d \lambda}

La constante de Verdet es función de la longitud de onda y de la forma en que el material desvía la onda electromagnética (dispersión), dejo el resto del texto de la wikipedia y comento lo de las estructuras del granate, debajo.

Para la mayoría de los materiales la constante de Verdet es extremadamente pequeña. Es más fuerte en las sustancias que contienen iones paramagnéticos tales como el terbio. Existen constantes de Verdet altas en vidrios densos dopados con terbio o en cristales de granate de galio-terbio (TGG). Este material tiene excelente transparencia y es muy resistente a los daños con luz láser.

El efecto Faraday es cromático (es decir, que depende de la longitud de onda) y por lo tanto la constante de Verdet es una función con una dependencia bastante fuerte de la longitud de onda. A 632.8 nm , la constante de Verdet para TGG se informó ser -134 rad T-1·m-1, mientras que a 1064 nm corresponde a -40 rad T-1·m-1. Este comportamiento indica que los dispositivos fabricados con un cierto grado de rotación en una longitud de onda, producirán una rotación mucho menor en longitudes de onda mayores. Muchos rotadores de Faraday y aisladores son ajustables mediante la variación del grado en que se inserta la varilla activa TGG en el campo magnético del dispositivo. De esta manera, el dispositivo puede ser sintonizado para su uso con una variedad de láseres dentro del rango de diseño del dispositivo. En dispositivos de banda ancha de emisión (por ejemplo, las fuentes de pulsos láseres ultra-cortos sintonizables y los láseres vibrónicos ) no verá la misma rotación en toda la banda de longitudes de onda.

Si leéis el enlace sobre el granate, veréis que hay un sistema llamado isométrico (debe ser una nueva variedad…), pero también veréis que puede contener unos cuantos elementos de distinto tipo que cristalizan en octaedros y tetraedros.

El dopaje de materiales es la base de los semiconductores. Consiste en introducir pequeñas cantidades de elementos dentro de una estructura más abundante en otro tipo de elementos, desequilibrando así electrónicamente el conjunto de la estructura.

Si tenemos por ejemplo una gran masa átomos ordenados de carbóno (valencias dos, cuatro, seis) y le metemos cada cierta distancia (nanométrica) un átomo de nitrógeno (valencias uno, tres, cinco), el conjunto de la masa de átomos ordenados de carbono se desequilibra, con lo que dependiendo del balance electrónico de las valencias posibles, gana o pierde electrones con facilidad y conduce la corriente mejor.

El que se añada un elemento u otro hace que la luz, por ejemplo (puesto que esto sucede de forma parecida con otras ondas que no se ven), tenga un color u otro. Hace tiempo leí sobre diodos led y como se fabrican para dar luces de diferentes colores, igual acabo por escribir algo al respecto, pero esto es muy técnico, y tengo series por ahi colgando, así que tardará un tiempo.

La cosa es que la luz cambia de color cuando su trayectoria se desvía, debido a que aunque la velocidad de propagación sea la misma en todo el haz de fotones, al girarse, la longitud de onda se percibe como más larga o más corta. Es un efecto parecido al que tendría poner un listón de madera enfrente e ir girándolo. Si lo miráis desde el mismo sitio parecerá que se acorta y se alarga aunque tenga la misma longitud y gire a la misma velocidad.

Esto se puede hacer de diferentes formas, la manera en que cada material, o mejor dicho, cada forma tridimensional en distintos materiales desvía la luz es lo que se llama dispersión, y está en relación con la composición, orientación en el espacio, y cantidad de materia que la luz atraviesa en su camino. Por eso para obtener luces led de diferentes colores se usan elementos diferentes, cada cual con su peso atómico, su radio atómico, su configuración electrónica, su espín, y el resto de sus propiedades.

También en mi tabla he tenido en cuenta estos efectos. En realidad mi tabla es un compendio de un montón de particularidades de los elementos que aparecen directamente ordenados en las filas, como el grupo del platino/paladio, o la serie de desintegración del uranio que va a dar de cabeza en el plomo.

Lead

Lead

207 unidades de masa atómica.

El plomo ocupa la posición par  (Z=82) en el eje central en mi tabla, en el cuarto subnivel del nivel quinto en mi tabla, que tiene quince subniveles ordenados en cinco niveles, creciendo un subnivel en cada nivel.

El uranio está cinco posiciones a su derecha, seguido del plutonio y el curio.

Y aquí se termina este post. Seguiré en el siguiente [XII] de esta serie con el Teorema Fundamental del Cálculo.

Pero antes os diré, que para Inautista, el teorema fundamental del cálculo es:

“¿Cuánta pasta puedo sacar de esto?”.

🙂

Acerca de María Cristina Alonso Cuervo

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