Maxwell’s equations (II)

Maxwell’s equations (II)

(Fate un commento e vi la traduco, make a comment and I’ll translate).

‘The differential and integral formulations of the equations are mathematically equivalent, by the divergence theorem in the case of Gauss’s law and Gauss’s law for magnetism, and by the Kelvin–Stokes theorem in the case of Faraday’s law and Ampère’s law. Both the differential and integral formulations are useful. The integral formulation can often be used to simplify and directly calculate fields from symmetric distributions of charges and currents. On the other hand, the differential formulation is a more natural starting point for calculating the fields in more complicated (less symmetric) situations, for example using finite element analysis.’ extracted from en.wikipedia

“Las formulaciones integrales y diferenciales de las ecuaciones (de Maxwell) son matemáticamente equivalentes, por el teorema de la divergencia en el caso de la ley de Gauss y la ley de Gauss para el magnetismo, y por el teorema de Kelvin-Stokes en el caso de la ley de Faraday y la ley de Ampere. Ambas formulaciones, integral y diferencial, son útiles. La formulación integral se puede utilizar para calcular campos directamente partiendo de distribuciones simétricas de cargas y corrientes. Por otro lado, la formulación diferencial es un punto de partida más natural para calcular campos en situaciones más complicadas (menos simétricas), por ejemplo utilizando el análisis de elementos finitos (masas discretas).” mi traducción del texto de arriba.

Si vais al enlace Maxwell’s equations veréis en flujo y divergencia (la divergencia de una línea de fuerza magnética se comporta exáctamente igual que un campo eléctrico) de campo una expresión:

\oiint{\scriptstyle \partial \Omega }  \mathbf{E}\cdot\mathrm{d}\mathbf{S}

Las dos eses alargadas representan una integral doble, la línea curvilínea que las encierra indica que su camino (el de las integrales) se desarrolla a lo largo y ancho (dos dimensiones) de una trayectoria cerrada, parten y terminan en el mismo punto. La e minúscula del revés y la omega minúscula indican que los incrementos-decrementos son parciales, uno a lo largo, y el otro a lo ancho, la E aparece sin la flechita encima, pero es un vector (lo dice el enlace al principio: todos los caracteres en negrita | grasseto | boldface son vectores), lo mismo ocurre con la S. La d minúscula indica la variación, el diferencial.

E es el vector de campo eléctrico, se considera distribuido de forma constante y simétrica en general. S es el vector superficie, y ahí lo que se hace es equiparar el largo y ancho de una superficie con el resultado del producto vectorial de los segmentos que la delimitan, y darle a ese producto un sentido normal, es decir, perpendicular al plano en que está contenida la superficie en cada punto de la mísma.

Si quisiésemos calcular el vector superficie de un bolardo esférico por ejemplo, tendríamos que ir haciendo pequeños desplazamientos (los diferenciales) de forma que al coger una pequeña porción de bolardo a lo largo de la línea cerrada que lo recorre (un meridiano, por ejemplo), tendríamos una pequeña tesela, un pequeño cuadradito de… digamos que un milímetro cuadrado, que tendríamos que considerar que es totalmente plano.

  • Pero oiga, los bolardos esféricos… ¿son planos?
  • Noooo, no son planos, son esféricos, pero si ese cuadradito se reduce y se reduce y se reduce, en lugar de un cuadradito, tenemos un punto.
  • ¿Los puntos son planos?
  • Los puntos son posiciones, y no tienen dimensión.
  • ¿Entonces el vector superficie sería cero?
  • ¡Calle ya, no me distraiga!

El vector superficie sería la suma de todos los vectores normales a los planos en que están contenidos los puntos de esa superficie, y esa sí tiene dimensión, dos, puesto que es una superficie.

En el enlace hay dos imágenes una para el flujo y la divergencia (la de arriba), y la otra para la circulación y el rotacional. En esas dos imágenes aparece representado el vector unitario normal a la superficie dS, n, tiene el mismo sentido que el vector superficie, pero su módulo (tamaño) es uno (the unit normal).

En general y desde hace unos setenta años, se vienen calculando magnitudes para diferentes fenómenos con el objetivo de comercializar y hacer rentables esos cálculos. Así que en las universidades se enseñan “cuatro cosinas” para conseguir que los técnicos sepan cómo manejar ciertos procesos, pero no se hace hincapié en porqué los procesos funcionan así.

Esto lleva a muchas situaciones en que se calculan sólo las variaciones, dejando de lado las magnitudes reales, es como si para dar una cota de altitud, sólo se considerase lo que se mueve hacia arriba o hacia abajo un escalador desde su posición de partida en el refugio de montaña más cercano. Si ese refugio está a dosmil metros de altitud, y el escalador sube cien metros, sólo se consideran los cien metros de subida, con lo que el error absoluto en este ejemplo es de (2100/100) – (100/100), 21 – 1 = 20 veces la magnitud considerada.

Y esto me recuerda un artículo que leí hoy en la prensa sobre unos generadores nucleares de fusión, en los que se lleva gastando una cantidad ingente de pasta, con el fin de comercializar esas tecnologías e implantarlas en centrales nucleares de fusión, que después tendrán que transportar y distribuír la energía generada.

A groso modo, lo que se hace en esos aparatos es acelerar el combustible nuclear hasta convertirlo en un fluído supercrítico, plasma, altamente reactivo y muy peligroso (se ve que han tenido poco con Chernobyl y Fukushima…), mucho más peligroso que la fisión.

Lo he dicho unas cuantas veces: la energía geotérmica en pequeñas instalaciones, muchas, y de pequeña potencia, es la solución a varios problemas de la humanidad, para empezar, generaría un montón de puestos de trabajo, porque requieren mantenimiento, con lo que la economía se reactivaría en una dirección beneficiosa para todo el mundo. Y además la energía geotérmica está presente por todo el mundo, sólo es cosa de excavar. Además de esta fuente de energía, constante y ubícua, están la eólica y la solar. Pero no, no les vale, tienen que hacer unos superrreactores de fusión, superpeligrosos, y repartirlos por todo el planeta (porque se ve que los de fisión no deben dar suficientes problemas de esos que yo llamo de tipo “inocuo”…), eso sí, si los ponen en Fukushima, los pondrán… 25 metros más arriba (en altitud) como poco…

Acerca de María Cristina Alonso Cuervo

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