Arco tangente Tangent Arc

Arco tangente Tangent Arc

Este os va a costar más trabajo entenderlo, lo redactaré de forma que tendréis que leer y releer hasta que lo entendáis, no para complicarlo, sino para explicarlo sin ambigüedades, ambigüedades que he ido leyendo en diferentes textos a lo largo de los años.

Os recomiendo prestar atención al formato de texto, los paréntesis, corchetes, y demás signos ortográficos.

Una  función, la que sea, tiene que tener una característica (entre otras características) para ser función:

Debe ser BIUNÍVOCA, es decir, la imagen de la función es el valor al que llega el algoritmo, o dicho sencillamente, la ‘f(x)’, o la ‘y’. Forma parte de lo que se conoce como, grafo, o recorrido de la función, que es el conjunto de valores en que la función tiene imagen. Siendo la otra parte, el origen de la función, llamada dominio. También se conocen como conjunto inicial, y conjunto final.

Por ejemplo, si sabéis programar, un dato de tipo ‘int’ integer, hay veces que se queda pequeño para recoger el valor devuelto por las instrucciones del programa, y tenéis que cambiar el tipo de esa variable a ‘long’, que es un integer que puede recoger más valores… digamos que palabras más largas.

La función debe ser tal que permita encontrar UNO Y SÓLO UN VALOR, valor de origen para cada elemento del conjunto imagen, al aplicar las transformaciones que dan como resultado el origen del valor de cada elemento imagen, y que generalmente se suelen (las transformaciones) llamar función inversa, lo que produce en muchos casos errores de cálculo, cuando se simplifica, porque generalmente lo que entendemos por inverso de un número es la unidad dividida por ese número. Eso es lo que es el inverso, para el caso general, en el espacio euclídeo, cartesiano, de los números reales en R1, R2, o R3.

En notación formal, las ‘erres’ son para los números pertenecientes al conjunto de los números Reales. Se escriben ligeramente inclinadas, en trazo fino, con un trazo paralelo al trazo vertical de la ‘erre’, y los números 1, 2, y 3, son superíndices, siendo éstos, para designar la línea, el plano, y el espacio, respectivamente, que son los números que todos usamos para “andar por casa”, aunque no lo sepamos.

Pero la función inversa, no es tan sencilla de calcular, porque los procesos donde se aplican e implementan, no se reducen a multiplicar y dividir, inversos uno del otro, o sumar y restar opuestos uno del otro, y también, en este sentido más amplio que el de “andar por casa”,  funciones inversas una de la otra.

Por esto precisamente a lo largo de los siglos han ido apareciendo diferentes formas de notación, y en el caso del Álgebra y el Cálculo, han aparecido símbolos de operadores con diferentes significados estrictamente denotados y, consecuentemente, entendidos por las personas que los han leído, léen, y leerán, por ejemplo, el producto punto ·, el producto vectorial x, o el producto externo ^, éste último utilizado también para expresar potenciaciones, y debiéndose entender uno u otro significado del contexto.

O los diferentes modos de denotar que tenían Newton, Lagrange, y Leibniz, para el cálculo diferencial, e integral, que pueden dar también lugar a equívocos.

Si el elemento imagen da más de un valor para el elemento origen al aplicar las transformaciones que dan como resultado los elementos en el conjunto origen de esa imagen de la función, entonces la función no es tal, sino que es sólo una correspondencia (hay montones de textos donde podéis encontrar explicaciones de los diferentes tipos de correspondencias entre conjuntos, consultar si no lo entendéis, o comentar aquí y os contesto yo).

La función arco tangente (algunas veces atan, otras arc tan), es la función que devuelve el valor de la porción de arco de circunferencia determinada por la intersección de la propia circunferencia unidad (o cualquier otro valor proporcionalmente si el radio es distinto de 1), con el eje de abscisas (horizontal) sobre el que va la proyección paralela al otro eje (ordenadas, vertical) de la hipotenusa, o del módulo del vector de posición, o del radio, que es lo que en trigonometría se llama coseno, y la intersección de la recta sobre la que va el radio, con la circunferencia (cuando se analiza y calcula un objeto que se esta moviendo sobre un bolardo esférico, digo una circunferencia). Ese valor se calcula partiendo de la imagen de la función tangente, que tiene un valor numérico.

El valor del arco tangente generalmente se expresa en grados sexagesimales, o en radianes

[radian: ángulo correspondiente a la porción de arco igual al radio]

dando, evidentemente, distintos valores numéricos en cada caso.

El radio es UNO |1| en el caso de la circunferencia UNIDAD, que es la que se usa en trigonometría y todos los cálculos relacionados que son muchos, y sus aplicaciones.

|i| en el caso de cualquier otro valor para la unidad de medida si igualamos el radio a la magnitud requerida, cientoveintinuevemil kilómetros, por ejemplo., o 10 metros si queremos una magnitud más manejable para una turbina, por ejemplo.

Voy a subir un dibujo que hice esta mañana, creo que es bastante claro en sí mísmo. Lo comento más abajo.

(Discuparme si visteis el dibujo anterior, me salté algún paso… resonaba en mis oidos la famosa coplilla medieval… 🙂 ).

arco tangente

arco tangente

Voy publicando y actualizando.

Cuando una correspondencia no es biunívoca, se empiezan a definir intervalos, o subconjuntos, o cerramientos, o clausuras, o topologías, que son distintas formas de definir porciones dentro de los conjuntos inicial y final. Porciones que son las que en cada caso interesan para ir implementando diferentes procesos.

También se definen distintas metodologías para analizar singularidades en las funciones (sean éstas subconjuntos definidos según las necesidades de implementación, o no), donde se producen comportamientos notables, como pueden ser: discontinuidades, cambios de signo, cambios de pendiente, indefiniciones, duplicidades, soluciones…

Esto lleva en muchos casos a considerar sólo las topologías que interesan para los distintos procesos a llevar a cabo, dejando fuera del estudio los resultados que se producen al aplicar estos procesos, todo aquello que no se define como el universo | sistema (o universos | sistemas) de estudio.

Y esto produce resultados imprevistos, ya desde el diseño del proceso a llevar a cabo.

Os dejo el TODO (para los que no seáis informáticos os diré que TODO viene de los tiempos de Maria Castaña, cuando se escribían programas con muchos menos recursos y había que economizar caracteres en las cadenas de texto para economizar, en este caso el espacio de la barra espaciadora entre TO y DO, de ‘to do’, que como no sabréis tiene el valor 32 en codigo ASCII en base decimal) de debajo como ejercicio, mientras voy traduciendo y desarrollando este post.

¡Ah, por cierto…! 62,24 son los grados de diferencia en latitud, entre el suroeste de Pakistan, y la zona metropolitana de Chile, y corresponden al arco de circunferencia de este planeta de masa despreciable (ver nota más abajo) llamado Tierra, abarcado por un ángulo de esa medida (el del dibujo de arriba).

NOTA: es habitual en física considerar despreciables las masas de los objetos, os pego un problema escogido al azar del Rincón del Vago como ejemplo ilustrativo:

31.- Dos bloques de 300 Kg y 40 Kg descansan sobre dos planos inclinados, tal como se indica en la figura. Están unidos por una cuerda de masa despreciable que pasa por una polea sin rozamiento. Calcular:
La aceleración con que se mueve el sistema.
La tensión de la cuerda.
El coeficiente de rozamiento entre los bloques y el plano es 0,3.
Datos:
g = 10 m/s2; (that’s little g 🙂 ).
sen 37º = 0,6;
sen 53º = 0,8.
Solución: a) a = 2 m/s2; b) T = 480 N. ‘Rincón del Vago’

He de deciros también que el medir un ángulo desde el de cero grados sobre la parte positiva de las abscisas, y aumentar la medida en sentido antihorario es así por convenio, si no os gusta lo podéis girar, pero si ponéis un metro de los de costura encima del arco, eso es una longitud, y ese es el significado físico y matemático en realidad, de la función arco tangente (que como no sabréis… o sí… se supone que es adimensional, aunque en realidad no lo es, pero esto es hullabaloosería avanzada que ya os explicaré en otro momento…).

Hala hermosos, ahí os dejo, y me lanzo inmediatamente a escuchar a Sazatornil cantando la famosa coplilla medieval…

TODO

Relacionar valores de tangente de 45 en grados sexagesimales, en radianes, con valores del seno por 2.
Dibujar las identidades trigonométricas.
Hallar puntos de más de un valor en que las funciones dejan de ser funciones.
Explicarlo con pizzas…

Acerca de María Cristina Alonso Cuervo

I am a teacher of English who started to write this blog in May 2014. In the column on the right I included some useful links and widgets Italian is another section of my blog which I called 'Cornice Italiana'. There are various tags and categories you can pick from. I also paint, compose, and play music, I always liked science, nature, arts, language... and other subjects which you can come across while reading my posts. Best regards.
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